Question

如圖，已知拋物線經過A（-2，0），B（-3，3）及原點O，頂點為C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且A、O、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D的坐標；
（3）P是拋物線上的第一象限內的動點，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點P，使得以P、M、A為頂點的三角形△BOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于拋物線經過A（-2，0），B（-3，3）及原點O，待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）根據平行四邊形的性質，對邊平行且相等以及對角線互相平分，可以求出點D的坐標；
（3）根據相似三角形對應邊的比相等可以求出點P的坐標．
解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），且過A（-2，0），B（-3，3），O（0，0）可得
，
解得．
故拋物線的解析式為y=x²+2x；

（2）①當AO為邊時，
∵A、O、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴DE=AO=2，
則D在x軸下方不可能，
∴D在x軸上方且DE=2，
則D₁（1，3），D₂（-3，3）；
②當AO為對角線時，則DE與AO互相平分，
∵點E在對稱軸上，對稱軸為直線x=-1，
由對稱性知，符合條件的點D只有一個，與點C重合，即D₃（-1，-1）
故符合條件的點D有三個，分別是D₁（1，3），D₂（-3，3），D₃（-1，-1）；

（3）存在，
如圖：∵B（-3，3），C（-1，-1），根據勾股定理得：
BO²=18，CO²=2，BC²=20，
∴BO²+CO²=BC²．
∴△BOC是直角三角形．
假設存在點P，使以P，M，A為頂點的 三角形與△BOC相似，
設P（x，y），由題意知x＞0，y＞0，且y=x²+2x，
①若△AMP∽△BOC，則=，
即 x+2=3（x²+2x）
得：x₁=，x₂=-2（舍去）．
當x=時，y=，即P（，）．
②若△PMA∽△BOC，則=，
即：x²+2x=3（x+2）
得：x₁=3，x₂=-2（舍去）
當x=3時，y=15，即P（3，15）．
故符合條件的點P有兩個，分別是P（，）或（3，15）．
點評：本題考查的是二次函數的綜合題，首先用待定系數法求出拋物線的解析式，然后利用平行四邊形的性質和相似三角形的性質確定點D和點P的坐標．