Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和x軸上的另一點(diǎn)E，頂點(diǎn)為M（2，4），矩形ABCD的頂點(diǎn)A與O重合，AD，AB分別在x，y軸上，且AD=2，AB=3．
（1）求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）現(xiàn)將矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長度的速度從左圖所示位置沿x軸的正方向勻速平行移動；同時(shí)AB上一動點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速運(yùn)動，設(shè)它們的運(yùn)動時(shí)間為t秒（0≤t≤3），直線AB與拋物線的交點(diǎn)為N，設(shè)多邊形PNCD的面積為S，試探究S是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用頂點(diǎn)坐標(biāo)假設(shè)出解析式，進(jìn)而將（0，0）代入得出解析式即可；
（2）根據(jù)題意得出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表示出N點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用當(dāng)PN=0，即t=0或t=3時(shí)，P、N、C、D所構(gòu)成的多邊形為三角形，求出面積即可，再利用當(dāng)PN≠0時(shí)，P、N、C、D四點(diǎn)所構(gòu)成的多邊形是四邊形，求出面積即可，即可得出最值．

解答：解：（1）由拋物線的頂點(diǎn)為M（2，4），
設(shè)其對應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=a（x-2）²+4，
代入（0，0）得a=-1，
故所求解析式為：y=-x²+4x；

（2）∵將矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長度的速度從左圖所示位置沿x軸的正方向勻速平行移動；
同時(shí)AB上一動點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速運(yùn)動，設(shè)它們的運(yùn)動時(shí)間為t秒，
依題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（t，t），點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（t，-t²+4t），
故PN=-t²+3t，
則有：當(dāng)PN=0，
即t=0或t=3時(shí)，分別如圖1，2，
P、N、C、D所構(gòu)成的多邊形為三角形，
此時(shí)S=

1

2

DC•AD=

1

2

×3×2=3，
當(dāng)PN≠0時(shí)，如圖3，
P、N、C、D四點(diǎn)所構(gòu)成的多邊形是四邊形，
因?yàn)镻N∥CD，AD⊥DC，
∴S=

1

2

（CD+PN）•AD，
=

1

2

[3+（-t²+3t）]×2，
=-t²+3t+3，
=-（t-

3

2

）²+

21

4

（0≤t≤3），
所以當(dāng)t=

3

2

時(shí)，S最大=

21

4

＞3，
綜上可知P、N、C、D所構(gòu)成的多邊形的面積S有最大值，這個(gè)最大值為：

21

4

．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式和配方法求二次函數(shù)的最值問題等知識，根據(jù)圖象進(jìn)行分類討論得出是解題關(guān)鍵．