Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(，)和B (2，0)，且與y軸交于點(diǎn)D，直線OC與AB交于點(diǎn)C，且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為．

(1)求直線AB的解析式；

(2)連接OA，試判斷△AOD的形狀；

(3)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿線段CO以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿y軸的正半軸以相同的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)PQ與OA交于點(diǎn)M，當(dāng)t為何值時(shí)，△OPM為等腰三角形？求出所有滿(mǎn)足條件的t值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+2；（2）△AOD為直角三角形，理由見(jiàn)解析；（3）t＝或．

【解析】

（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝kx+b，即可求解；

（2）由點(diǎn)A、O、D的坐標(biāo)得：AD2＝1，AO2＝3，DO2＝4，故DO2＝OA2+AD2，即可求解；

（3）點(diǎn)C（，1），∠DBO＝30°，則∠ODA＝60°，則∠DOA＝30°，故點(diǎn)C（，1），則∠AOC＝30°，∠DOC＝60°，OQ＝CP＝t，則OP＝2﹣t．①當(dāng)OP＝OM時(shí)，OQ＝QH+OH，即（2﹣t）+（2﹣t）＝t，即可求解；②當(dāng)MO＝MP時(shí)，∠OQP＝90°，故OQ＝OP，即可求解；③當(dāng)PO＝PM時(shí)，故這種情況不存在．

解：（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝kx+b得： ，

解得：，

故直線AB的表達(dá)式為：y＝﹣x+2；

（2）直線AB的表達(dá)式為：y＝﹣x+2，則點(diǎn)D（0，2），

由點(diǎn)A、O、D的坐標(biāo)得：AD2＝1，AO2＝3，DO2＝4，

故DO2＝OA2+AD2，

故△AOD為直角三角形；

（3）直線AB的表達(dá)式為：y＝﹣x+2，故點(diǎn)C（，1），則OC＝2，

則直線AB的傾斜角為30°，即∠DBO＝30°，則∠ODA＝60°，則∠DOA＝30°

故點(diǎn)C（，1），則OC＝2，

則點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，故∠COB＝∠DBO＝30°，則∠AOC＝30°，∠DOC＝60°，

OQ＝CP＝t，則OP＝OC﹣PC＝2﹣t，

①當(dāng)OP＝OM時(shí)，如圖1，

則∠OMP＝∠MPO＝（180°﹣∠AOC）＝75°，故∠OQP＝45°，

過(guò)點(diǎn)P作PH⊥y軸于點(diǎn)H，

則OH＝OP＝（2﹣t），

由勾股定理得：PH＝（2﹣t）＝QH，

OQ＝QH+OH＝（2﹣t）+（2﹣t）＝t，

解得：t＝；

②當(dāng)MO＝MP時(shí)，如圖2，

則∠MPO＝∠MOP＝30°，而∠QOP＝60°，

∴∠OQP＝90°，

故OQ＝OP，即t＝（2﹣t），

解得：t＝；

③當(dāng)PO＝PM時(shí)，

則∠OMP＝∠MOP＝30°，而∠MOQ＝30°，

故這種情況不存在；

綜上，t＝或．