【題目】已知,如圖,在三角形中,,且.點從點出發(fā),沿方向勻速運動,速度為;同時點點出發(fā),沿方向勻速運動,速度為,過點的動直線,交于點,連結(jié),設運動時間為,解答下列問題:

1)線段_________;

2)求證:;

3)當為何值時,以為頂點的四邊形為平行四邊形?

【答案】1)12;(2)證明見詳解;(3)t=4s

【解析】

1)由勾股定理求出AD即可;
2)由等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出∠PBQ=∠PQB,再由等腰三角形的判定定理即可得出結(jié)論;
3)分兩種情況:當點M在點D的上方時,根據(jù)題意得:PQ=BP=t,AM=4t,AD=12,得出MD=AD-AM=12-4t,由PQ∥MD,當PQ=MD時,四邊形PQDM是平行四邊形,得出方程,解方程即可;
當點M在點D的下方時,根據(jù)題意得:PQ=BP=tAM=4t,AD=12,得出MD=AM-AD=4t-12,由PQ∥MD,當PQ=MD時,四邊形PQDM是平行四邊形,得出方程,解方程即可.

1)解:∵BDAC,
∴∠ADB=90°,
cm),
2)如圖所示:

∵AB=AC
∴∠ABC=∠C,即∠PBQ=∠C,
∵PQ∥AC
∴∠PQB=∠C,
∴∠PBQ=∠PQB,
∴PB=PQ;

3)分兩種情況:
①當點M在點D的上方時,如圖2所示:


根據(jù)題意得:PQ=BP=t,AM=4tAD=12,
MD=AD-AM=12-4t,
PQAC
PQMD,
∴當PQ=MD時,四邊形PQDM是平行四邊形,
即:當t=12-4t,時,四邊形PQDM是平行四邊形,
解得:s);


②當點M在點D的下方時,如圖3所示:
根據(jù)題意得:PQ=BP=t,AM=4tAD=12,
MD=AM-AD=4t-12,
PQAC,
PQMD
∴當PQ=MD時,四邊形PQDM是平行四邊形,
即:當t=4t-12時,四邊形PQDM是平行四邊形,
解得:t=4s);
綜上所述,當t=4s時,以P、Q、D、M為頂點的四邊形為平行四邊形.

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