Question

【題目】如圖，為等邊三角形內(nèi)的一點，且到三個頂點、、的距離分別為3、4、5，則的面積為（ ）

A.10B.8C.6D.3

Answer 1

【答案】D

【解析】

將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△BEA，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，則△BPE為等邊三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延長BP，作AF⊥BP于點FAP=3，PE=4，根據(jù)勾股定理的逆定理可得到△APE為直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度數(shù)，在直角△APF中利用三角函數(shù)求得AF的長，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

解：∵△ABC為等邊三角形，

∴BA=BC，

可將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△BEA，連EP，且延長BP，作AF⊥BP于點F．如圖，

∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，

∴△BPE為等邊三角形，

∴PE=PB=4，∠BPE=60°，

在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，

∴AE2=PE2+PA2，

∴△APE為直角三角形，且∠APE=90°，

∴∠APB=90°+60°=150°．

∴∠APF=30°，

∴在直角△APF中，AF=AP=，

∴△PAB的面積=PBAF=×4×=3，

故選：D．