Question

1．已知直線l₁：y=-x$+\sqrt{2}$k，雙曲線C：y=$\frac{{k}^{2}}{{x}^{2}}$，定點F1（$\sqrt{2}$k，$\sqrt{2}$k）．
（1）若k=$\sqrt{2}$，求直線l₁，雙曲線C的解析式，定點F的坐標(biāo)；
（2）在（1）的條件下，在雙曲線C上任取一點P（x，y），過P作直線l1的垂線段PM，求$\frac{P{F}_{1}}{PM}$的值；
（3）若k為大于0的任意實數(shù)，在雙曲線C上任取一點P（x，y），過P作直線l₁的垂線段PM，判斷$\frac{P{F}_{1}}{PM}$的值是否為定值？若是，求出定值；若不是說明理由．

Answer 1

分析 （1）只需把k=$\sqrt{2}$代入直線、雙曲線的解析式和點F₁的坐標(biāo)，就可解決問題；
（2）易證△AOB是等腰直角三角形，過點P作PQ∥AB交x軸于點Q，過點Q作QN⊥AB于N，如圖，根據(jù)平行線間的距離處處相等可得PM=QN．可設(shè)PQ的解析式為y=-x+n，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為a，由此可求出點Q的坐標(biāo)及AQ的長（用a的代數(shù)式表示），在Rt△ANQ中運用三角函數(shù)可求出QN（即PM）（用a的代數(shù)式表示），然后運用兩點之間距離公式可求出PF₁（用a的代數(shù)式表示），就可求出$\frac{P{F}_{1}}{PM}$的值；
（3）易證△AOB是等腰直角三角形，過點P作PQ∥AB交x軸于點Q，過點Q作QN⊥AB于N，如圖，根據(jù)平行線間的距離處處相等可得PM=QN．可設(shè)PQ的解析式為y=-x+n，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為a，由此可求出點Q的坐標(biāo)及AQ的長（用a和k的代數(shù)式表示），在Rt△ANQ中運用三角函數(shù)可求出QN（即PM）（用a和k的代數(shù)式表示），然后運用兩點之間距離公式可求出PF₁（用a和k的代數(shù)式表示），就可求出$\frac{P{F}_{1}}{PM}$的值．

解答 解：（1）當(dāng)若k=$\sqrt{2}$時，
直線l₁的解析式為y=-x+2，雙曲線C的解析式為y=$\frac{2}{x}$，定點F₁的坐標(biāo)為（2，2）；

（2）∵A、B分別是直線y=-x+2與x軸、y軸的交點，
∴A（2，0）、B（0，2），
∴OA=OB=2．
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°．
過點P作PQ∥AB交x軸于點Q，過點Q作QN⊥AB于N，如圖所示，
則有PM=QN．
可設(shè)PQ的解析式為y=-x+n．
設(shè)點P的橫坐標(biāo)為a，則y_P=$\frac{2}{a}$，
∴$\frac{2}{a}$=-a+n，
∴n=$\frac{2}{a}$+a，
∴直線PQ的解析式為y=-x+$\frac{2}{a}$+a．
當(dāng)y=0時，-x+$\frac{2}{a}$+a=0，
∴x=$\frac{2}{a}$+a，
∴Q（$\frac{2}{a}$+a，0），OQ=$\frac{2}{a}$+a，
∴AQ=$\frac{2}{a}$+a-2，
∴PM=QN=AQ•sin∠QAN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{2}{a}$+a-2）．
∵P（a，$\frac{2}{a}$），F(xiàn)₁（2，2），
∴PF₁=$\sqrt{（a-2）^{2}+（\frac{2}{a}-2）^{2}}$
=$\sqrt{{a}^{2}-4a+4+\frac{4}{{a}^{2}}-\frac{8}{a}+4}$
=$\sqrt{（a+\frac{2}{a}）^{2}-4（a+\frac{2}{a}）+4}$
=$\sqrt{（a+\frac{2}{a}-2）^{2}}$
=$\frac{2}{a}$+a-2．
∴PM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PF₁，
∴$\frac{P{F}_{1}}{PM}$=$\sqrt{2}$；

（3）$\frac{P{F}_{1}}{PM}$的值是定值．
∵A、B分別是直線y=-x+$\sqrt{2}$k與x軸、y軸的交點，
∴A（$\sqrt{2}$k，0）、B（0，$\sqrt{2}$k），
∴OA=OB=$\sqrt{2}$k．
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°．
過點P作PQ∥AB交x軸于點Q，過點Q作QN⊥AB于N，如圖所示，
則有PM=QN．
可設(shè)PQ的解析式為y=-x+n．
設(shè)點P的橫坐標(biāo)為a，則y_P=$\frac{{k}^{2}}{a}$，
∴$\frac{{k}^{2}}{a}$=-a+n，
∴n=$\frac{{k}^{2}}{a}$+a，
∴直線PQ的解析式為y=-x+$\frac{{k}^{2}}{a}$+a，
當(dāng)y=0時，-x+$\frac{{k}^{2}}{a}$+a=0，
∴x=$\frac{{k}^{2}}{a}$+a，
∴Q（$\frac{{k}^{2}}{a}$+a，0），OQ=$\frac{{k}^{2}}{a}$+a，
∴AQ=$\frac{{k}^{2}}{a}$+a-$\sqrt{2}$k，
∴PM=QN=AQ•sin∠QAN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{{k}^{2}}{a}$+a-$\sqrt{2}$k）．
∵P（a，$\frac{{k}^{2}}{a}$），F(xiàn)₁（$\sqrt{2}$k，$\sqrt{2}$k），
∴PF₁=$\sqrt{（a-\sqrt{2}k）^{2}+（\frac{{k}^{2}}{a}-\sqrt{2}k）^{2}}$
=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{{k}^{4}}{{a}^{2}}-2\sqrt{2}k（a+\frac{{k}^{2}}{a}）+4{k}^{2}}$
=$\sqrt{（a+\frac{{k}^{2}}{a}-\sqrt{2}k）^{2}}$
=a+$\frac{{k}^{2}}{a}$-$\sqrt{2}$k，
∴PM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PF₁，
∴$\frac{P{F}_{1}}{PM}$=$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了直線及反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、運用待定系數(shù)法求直線的解析式、兩直線平行的問題、平行線間的距離處處相等、三角函數(shù)、兩點之間的距離公式等知識，利用平行線間的距離處處相等將PM轉(zhuǎn)化為QN，是解決本題的關(guān)鍵；運用兩點之間距離公式時，將根號內(nèi)的代數(shù)式配成完全平方是解決本題的難點．