分析 (1)只需把k=√2√2代入直線、雙曲線的解析式和點F1的坐標,就可解決問題;
(2)易證△AOB是等腰直角三角形,過點P作PQ∥AB交x軸于點Q,過點Q作QN⊥AB于N,如圖,根據(jù)平行線間的距離處處相等可得PM=QN.可設PQ的解析式為y=-x+n,設點P的橫坐標為a,由此可求出點Q的坐標及AQ的長(用a的代數(shù)式表示),在Rt△ANQ中運用三角函數(shù)可求出QN(即PM)(用a的代數(shù)式表示),然后運用兩點之間距離公式可求出PF1(用a的代數(shù)式表示),就可求出PF1PMPF1PM的值;
(3)易證△AOB是等腰直角三角形,過點P作PQ∥AB交x軸于點Q,過點Q作QN⊥AB于N,如圖,根據(jù)平行線間的距離處處相等可得PM=QN.可設PQ的解析式為y=-x+n,設點P的橫坐標為a,由此可求出點Q的坐標及AQ的長(用a和k的代數(shù)式表示),在Rt△ANQ中運用三角函數(shù)可求出QN(即PM)(用a和k的代數(shù)式表示),然后運用兩點之間距離公式可求出PF1(用a和k的代數(shù)式表示),就可求出PF1PMPF1PM的值.
解答 解:(1)當若k=√2√2時,
直線l1的解析式為y=-x+2,雙曲線C的解析式為y=2x2x,定點F1的坐標為(2,2);
(2)∵A、B分別是直線y=-x+2與x軸、y軸的交點,
∴A(2,0)、B(0,2),
∴OA=OB=2.
∵∠AOB=90°,
∴∠OAB=∠OBA=45°.
過點P作PQ∥AB交x軸于點Q,過點Q作QN⊥AB于N,如圖所示,
則有PM=QN.
可設PQ的解析式為y=-x+n.
設點P的橫坐標為a,則yP=2a2a,
∴2a2a=-a+n,
∴n=2a2a+a,
∴直線PQ的解析式為y=-x+2a2a+a.
當y=0時,-x+2a2a+a=0,
∴x=2a2a+a,
∴Q(2a2a+a,0),OQ=2a2a+a,
∴AQ=2a2a+a-2,
∴PM=QN=AQ•sin∠QAN=√22√22(2a2a+a-2).
∵P(a,2a2a),F(xiàn)1(2,2),
∴PF1=√(a−2)2+(2a−2)2
=√a2−4a+4+4a2−8a+4
=√(a+2a)2−4(a+2a)+4
=√(a+2a−2)2
=2a+a-2.
∴PM=√22PF1,
∴PF1PM=√2;
(3)PF1PM的值是定值.
∵A、B分別是直線y=-x+√2k與x軸、y軸的交點,
∴A(√2k,0)、B(0,√2k),
∴OA=OB=√2k.
∵∠AOB=90°,
∴∠OAB=∠OBA=45°.
過點P作PQ∥AB交x軸于點Q,過點Q作QN⊥AB于N,如圖所示,
則有PM=QN.
可設PQ的解析式為y=-x+n.
設點P的橫坐標為a,則yP=k2a,
∴k2a=-a+n,
∴n=k2a+a,
∴直線PQ的解析式為y=-x+k2a+a,
當y=0時,-x+k2a+a=0,
∴x=k2a+a,
∴Q(k2a+a,0),OQ=k2a+a,
∴AQ=k2a+a-√2k,
∴PM=QN=AQ•sin∠QAN=√22(k2a+a-√2k).
∵P(a,k2a),F(xiàn)1(√2k,√2k),
∴PF1=√(a−√2k)2+(k2a−√2k)2
=√a2+k4a2−2√2k(a+k2a)+4k2
=√(a+k2a−√2k)2
=a+k2a-√2k,
∴PM=√22PF1,
∴PF1PM=√2.
點評 本題主要考查了直線及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、運用待定系數(shù)法求直線的解析式、兩直線平行的問題、平行線間的距離處處相等、三角函數(shù)、兩點之間的距離公式等知識,利用平行線間的距離處處相等將PM轉化為QN,是解決本題的關鍵;運用兩點之間距離公式時,將根號內(nèi)的代數(shù)式配成完全平方是解決本題的難點.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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