Question

如圖，在平面直角坐標系中，點C在x軸上，∠OCD=∠D=90°，AO=OC=10cm，CD=6cm．
（1）請求出點A的坐標．
（2）如圖2，動點P、Q以每秒1cm的速度分別從點O和點C同時出發(fā)，點P沿OA、AD、DC運動到點C停止，點Q沿CO運動到點O停止．設P、Q同時出發(fā)t秒．
①是否存在某個時間t（秒），使得△OPQ為直角三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
②若記△POQ的面積為y（cm²），求y（cm²）關于t（秒）的函數(shù)關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）做AE⊥OC，根據平行線的性質推出OM的長度，然后運用勾股定理即可推出MA的長度，即可推出A點的坐標；
（2）①作AN⊥OA，設與OC的延長線交于N點，延長DA到y(tǒng)軸，設與y軸交于點M，通過求證△OMA∽△NAO，推出AN=cm，ON=cm，再分情況進行討論．若∠OPQ=90°，則△OPQ為直角三角形，由PQ∥AN，推出，即可求出t=；若∠OQP=90°，則△OPQ為直角三角形，通過求證∠AON∽△QOP，推出，即可求出t=cm，所以當t=cm或者t=cm時，△OPQ為直角三角形；
②作QH⊥OA，把OP視作底邊，由QH∥AN，推出，再由OQ=10-t，AN=，ON=，推出高QH的長度，然后根據OP=t，即可推出S=（0＜t＜10）．
解答：解：（1）如圖1，作AE⊥OC于E．
∴AE∥CD，
∵∠OCD=∠D=90°，
∴AD∥OC，
∵CD=6cm，
∴AE=DC=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴OE=8cm，
∴A（8，6）；

（2）作AN⊥OA，設與OC的延長線交于N點，延長DA，與y軸交于點M．
①如圖2，
∵AD∥OC，
∴AM⊥OM，
∴DM∥OC，
∵A（8，6），
∴AM=8cm，OM=CD=6cm，
∴∠AON=∠MAO，
∵∠AMO=∠OAN=90°，
∴△OMA∽△NAO，
∴，
∵OM=6cm，AM=8cm，OA=10cm，
∴AN=cm，ON=cm，
如圖，若∠OPQ=90°，則△OPQ為直角三角形，
∴PQ∥AN，
∴，
∵P，Q兩點的運動時間為t秒，OC=OA=10cm，
∴，
∴t=，
如圖，若∠OQP=90°，則△OPQ為直角三角形，
∵∠AON=∠QOP，
∴∠AON∽△QOP，
∴，
∴，
∴t=cm，
∴當t=cm或者t=cm時，△OPQ為直角三角形；

②如圖3，作QH⊥OA于H．
∵AN⊥OA，
∴QH∥AN，
∴，
∵OQ=10-t，AN=，ON=，
∴QH=cm，
∵OP=t，
∴S_△OPQ=，
∴S=（0＜t＜10）．
點評：本題主要考查直角三角形的性質，勾股定理，點的坐標，相似三角形的判定及性質，關鍵在于根據題意畫出輔助線，構建直角三角形，運用數(shù)形結合的思想推出相關的三角形相似，求出相關線段的長度，正確的進行分析．