Question

【題目】如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、、分別為坐標(biāo)軸上的三個(gè)點(diǎn)，且，，．

（1）求經(jīng)過、、三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線的上方，連接、，并把沿翻折，得到四邊形，那么是否存在點(diǎn)，使四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖2，過拋物線頂點(diǎn)作直線軸，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上、兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與、兩點(diǎn)重合），直線、與直線分別交于點(diǎn)、，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在， 點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）（或是定值）．

【解析】

（1）先求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；

（2）先設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，取中點(diǎn)，作，則點(diǎn)為所求，由此可以得到點(diǎn)M到y軸的距離是OB的一半，進(jìn)而列出方程求解即可；

（3）過點(diǎn)作軸交軸與，設(shè)，由，可得以及，進(jìn)而得到以及，最后用含有t的代數(shù)式分別表示出EF和EG的長(zhǎng)，化簡(jiǎn)即可．

（1）設(shè)拋物線的解析式為，

，，、、，

方程組

解得：，，，

經(jīng)過、、三點(diǎn)的拋物線的解析式為；

（2）存在點(diǎn)，使四邊形為菱形．

理由為：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，

若使四邊形是菱形，則需要滿足與互相垂直且平分，

取中點(diǎn)，作，則點(diǎn)為所求，，，

，

解得（不合題意，舍去），

點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（3）（或是定值），

理由如下：過點(diǎn)作軸交軸與，如圖：

設(shè)，則，，

∵點(diǎn)D為頂點(diǎn)，

∴DE為對(duì)稱軸，

∴CE=AE=2，

，

∴，

∴，

；

又，

∴，

，

，