【題目】在矩形ABCD中,AB=12,BC=25,P是線段AB上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與A,B重合),將PBC沿直線PC折疊,頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G,CG,PG分別交線段ADEO

1)如圖1,若OP=OE,求證:AE=PB;

2)如圖2,連接BEPC于點(diǎn)F,若BECG

①求證:四邊形BFGP是菱形;

②當(dāng)AE=9,求的值.

【答案】1)見(jiàn)解析;(2)①見(jiàn)解析;②

【解析】

1)由折疊的性質(zhì)可得PB=PG,∠B=G=90°,由“AAS”可證AOP≌△GOE,可得OA=GO,即可得結(jié)論;

2)①由折疊的性質(zhì)可得∠PGC=PBC=90°,∠BPC=GPC,BP=PGBF=FG,由平行線的性質(zhì)可得∠BPF=BFP=GPC,可得BP=BF,即可得結(jié)論;

②由勾股定理可求BE的長(zhǎng),EC的長(zhǎng),由相似三角形的性質(zhì)可得,可求BF=BP=5x=,由勾股定理可求PC的長(zhǎng),即可求解.

證明:(1)∵四邊形ABCD是矩形

AB=CD,AD=BC,ADBC,∠A=B=90°

∵將PBC沿直線PC折疊,

PB=PG,∠B=G=90°

∵∠AOP=GOE,OP=OE,∠A=G=90°

∴△AOP≌△GOEAAS

AO=GO

AO+OE=GO+OP

AE=GP,

AE=PB

2)①∵△BPC沿PC折疊得到GPC,

∴∠PGC=PBC=90°,∠BPC=GPC,BP=PGBF=FG

BECG,

BEPG,

∴∠GPF=PFB,

∴∠BPF=BFP

BP=BF

BP=BF=PG=GF

∴四邊形BFGP是菱形;

②∵AE=9,CD=AB=12,AD=BC=GC=25,

DE=AD-AE=16,BE==15,

RtDEC中,EC==20

BEPG

∴△CEF∽△CGP

==

∴設(shè)EF=4x,PG=5x

BF=BP=GF=5x,

BF+EF=BE=15

9x=15

x=

BF=BP=5x=,

RtBPC中,PC==

==

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求證:直線PA為O的切線;

(2)試探究線段EF、OD、OP之間的等量關(guān)系,并加以證明;

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1)商廈第一批和第二批各購(gòu)進(jìn)休閑衫多少件?

2)請(qǐng)問(wèn)在這兩筆生意中,商廈共盈利多少元?

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(1)求該產(chǎn)品銷售價(jià)y1(元)與產(chǎn)量x(kg)之間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)直接寫(xiě)出生產(chǎn)成本y2(元)與產(chǎn)量x(kg)之間的函數(shù)關(guān)系式;

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