Question

5．如圖，△ABC是等邊三角形，點E，F(xiàn)分別在BC，AC上，且BE=CF，連結AE與BF相交于點G．將△ABC沿AB邊折疊得到△ABD，連結DG．延長EA到點H，使得AH=BG，連結DH．
（1）求證：四邊形DBCA是菱形．
（2）若菱形DBCA的面積為8$\sqrt{3}$，$\frac{DB}{DG}$=$\frac{4}{5}$，求△DGH的面積．

Answer 1

分析 （1）利用等邊三角形的性質(zhì)和折疊的定義，可知AC=AD=BC=BD，利用菱形的判定定理可得結論；
（2）首先證得△ABE≌△BCF（SAS），再由菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定證得△DBG≌△DAH（SAS），由全等三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定可證得△DBA∽△DGH，由相似三角形的性質(zhì)面積比等于相似比的平方，可得結果．

解答 （1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC由折疊知AC=AD，BC=BD，
∴AC=AD=BC=BD，
∴四邊形DBCA是菱形；

（2）解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABE與△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABC=∠C}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠AEB=∠BFC，
∵四邊形DBCA是菱形，
∴DA∥BC，DB∥AC，∠BDA=∠C=60°，
∴∠HAD=∠AEB，∠DBG=∠BFC，
∴∠HAD=∠DBG，
在△DBG與△DAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=DB}\\{∠HAD=∠DBG}\\{AH=BG}\end{array}\right.$，
∴△DBG≌△DAH（SAS），
∴DG=DH，∠BDG=∠ADH，
∴∠HDG=∠ADH+∠GDA=∠BDG+∠GDA=∠BDA=60°，
又∵DA=DB，DG=DH，
∴△DBA∽△DGH，
∴$\frac{{S}_{△DBA}}{{S}_{△DGH}}=\frac{{DB}^{2}}{{DG}^{2}}$=${（\frac{DB}{DG}）}^{2}$=$\frac{16}{25}$，
∵S_△DBA=$\frac{1}{2}$S_菱形DBCA=$\frac{1}{2}×8\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，
∴S_△DGH=$\frac{25\sqrt{3}}{4}$．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、折疊的定義、相似三角形的性質(zhì)及判定等，充分利用等邊三角形的性質(zhì)是解答此題的關鍵．