Question

如圖所示，每個(gè)圓周上的數(shù)是按下述規(guī)則逐次標(biāo)出的：第一次先在圓周上標(biāo)出

1

9

，

2

9

兩個(gè)數(shù)（如圖1）；第二次又在第一次標(biāo)出的兩個(gè)之間的圓周上，分別標(biāo)出這兩個(gè)數(shù)的和（如圖2）；第三次再在第二次標(biāo)出的所有相鄰兩數(shù)之間的圓周上，分別標(biāo)出相鄰兩數(shù)的和（如圖3）；按此規(guī)則，依此類(lèi)推，一直標(biāo)下去．

（1）設(shè)n是正整數(shù)，記第n次標(biāo)完數(shù)字后，圓周上所有數(shù)字的和為S_n，猜想并寫(xiě)出S_n與S_n-1的關(guān)系；
（2）求S₂₀₁₀的值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，S=

3

9

，當(dāng)n=2時(shí)，S=

9

9

，當(dāng)n=3時(shí)，S=

27

9

，由此可知每次標(biāo)玩后的和是前一次標(biāo)完后的和的3倍，即可推出S_n與S_n-1的關(guān)系；
（2）根據(jù)（1）所推出的結(jié)論可知，第n次標(biāo)完后，S_n=3^n-2，所以S₂₀₁₀的值為3²⁰⁰⁸．

解答：解：（1）∵當(dāng)n=1時(shí)，S₁=

3

9

，
當(dāng)n=2時(shí)，S₂=

9

9

，
當(dāng)n=3時(shí)，S₃=

27

9

，
∴3S₁=S₂，3S₂=S₃，S_n=3^n-2，
∴S_n=3S_n-1，
（2）∵S_n=3^n-2，
∴S₂₀₁₀=3²⁰⁰⁸．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分析總結(jié)歸納能力，關(guān)鍵在于通過(guò)計(jì)算每次標(biāo)注完的和，由數(shù)的變化推出數(shù)的變化規(guī)律．