Question

已知：如圖，⊙O的半徑為5，P為⊙O外一點，PB、PD與⊙O分別交于點A、B和點C、D，且PO平分∠BPD．
（1）求證：

CB

=

AD

；
（2）當PA=1，∠BPO=45°時，求弦AB的長．

Answer 1

考點：垂徑定理,角平分線的性質(zhì),勾股定理

專題：計算題

分析：（1）作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，連結(jié)OB、OD，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得OE=OF，根據(jù)垂徑定理得AE=BE，CF=DF，則可利用“HL”證明Rt△OBE≌Rt△ODF，得到BE=DF，則AB=CD，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到

AB

=

CD

，所以

CB

=

AD

；
（2）在Rt△POE中，由于∠BPO=45°，則可判斷△POE為等腰直角三角形，所以O(shè)E=PE=1+AE，則OE=1+BE，然后在Rt△BOE中根據(jù)勾股定理得（1+BE）²+BE²=5²，解方程求出BE即可得到AB．

解答：（1）證明：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，連結(jié)OB、OD，如圖，
∵PO平分∠BPD，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴OE=OF，AE=BE，CF=DF，
在Rt△OBE和Rt△ODF中，

OE=OF OB=OD

，
∴Rt△OBE≌Rt△ODF，
∴BE=DF，
∴AB=CD，
∴

AB

=

CD

，
∴

AB

+

AC

=

AC

+

CD

，
即

CB

=

AD

；
（2）解：在Rt△POE中，∵∠BPO=45°，
∴△POE為等腰直角三角形，
∴OE=PE=PA+AE=1+AE，
而AE=BE，
∴OE=1+BE，
在Rt△BOE中，∵OE²+BE²=OB²，
∴（1+BE）²+BE²=5²，解得BE=-4（舍去）或BE=3，
∴AB=2BE=6．

點評：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條�。�也考查了角平分線的性質(zhì)和勾股定理．