Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)C（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A．B兩點(diǎn)，開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，且其頂點(diǎn)P在⊙C上．

1.求∠ACB的大小

2.寫(xiě)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)

3.由圓與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，3），求出拋物線(xiàn)的解析式；

4.在該拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)D點(diǎn)，使線(xiàn)段OP與CD互相平分？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

1.120°

2.A（1-  ，0），B（1+ ，0）

3.y=-x²+2x+2

4.點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，2）

【解析】解：（1）作CH⊥x軸于H，

∵CH=1，半徑CB=2，

∴∠BCH=60°，

即∠ACB=120°．

（2）∵CH=1，半徑CB=2，

∴HB=  ，

∴A的坐標(biāo)是（1-  ，0），B的坐標(biāo)是（1+ ，0）．

（3）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式是y=a（x-1）2+3，

把點(diǎn)B（1+  ，0）代入上式，解得：a=-1，

∴y=-1（x-1）²+3=-x²+2x+2，

即拋物線(xiàn)的解析式是y=-x²+2x+2．

（4）假設(shè)存在點(diǎn)D使線(xiàn)段OP與CD互相平分，

則四邊形OCPD是平行四邊形，

∴PC∥OD，PC=OD，

∵PC∥y軸，

∴點(diǎn)D在y軸上，

∵PC=2，

∴OD=2，

即D（0，2），

又D（0，2）滿(mǎn)足y=-x²+2x+2，

∴點(diǎn)D在拋物線(xiàn)上，

∴存在D點(diǎn)，使線(xiàn)段OP與CD互相平分，且點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，2）．