Question

【題目】如圖，在中，是直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，于點(diǎn)，過點(diǎn)的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，分別交，于點(diǎn)．連接，關(guān)于下列結(jié)論：① ；②；③點(diǎn)是的外心，其中正確結(jié)論是（ ）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

Answer 1

【答案】C

【解析】

由于與不一定相等，根據(jù)圓周角定理可知①錯(cuò)誤；連接OD，利用切線的性質(zhì)，可得出∠GPD＝∠GDP，利用等角對(duì)等邊可得出GP＝GD，可知②正確；先由垂徑定理得到A為的中點(diǎn)，再由C為的中點(diǎn)，得到，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等可得出∠CAP＝∠ACP，利用等角對(duì)等邊可得出AP＝CP，又AB為直徑得到∠ACQ為直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ＝∠PQC，得出CP＝PQ，即P為直角三角形ACQ斜邊上的中點(diǎn)，即為直角三角形ACQ的外心，可知③正確；

∵在⊙O中，AB是直徑，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C是弧AD的中點(diǎn)，

∴＝≠，

∴∠BAD≠∠ABC，故①錯(cuò)誤；

連接OD，

則OD⊥GD，∠OAD＝∠ODA，

∵∠ODA＋∠GDP＝90，∠EPA＋∠EAP＝∠EAP＋∠GPD＝90，

∴∠GPD＝∠GDP；

∴GP＝GD，故②正確；

∵弦CF⊥AB于點(diǎn)E，

∴A為的中點(diǎn)，即，

又∵C為的中點(diǎn)，

∴，

∴，

∴∠CAP＝∠ACP，

∴AP＝CP．

∵AB為圓O的直徑，

∴∠ACQ＝90，

∴∠PCQ＝∠PQC，

∴PC＝PQ，

∴AP＝PQ，即P為Rt△ACQ斜邊AQ的中點(diǎn)，

∴P為Rt△ACQ的外心，故③正確；

故選C．