Question

【題目】如圖1，點P為∠MON的平分線上一點，以P為頂點的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點，如果∠APB繞點P旋轉(zhuǎn)時始終滿足，我們就把∠APB叫做∠MON的智慧角.

（1）如圖2，已知∠MON=90°，點P為∠MON的平分線上一點，以點P為頂點的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點，且∠APB=135°. 求證：∠APB是∠MON的智慧角；

（2）如圖3，C是函數(shù)圖象上的一個動點，過點C的直線CD分別交軸和軸于點A，B兩點，且滿足BC=2CA，請求出∠AOB的智慧角∠APB的頂點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）或

【解析】試題分析：（1）由角平分線求出∠AOP=∠BOP=，∠MON=45°，再證出∠OAP=∠OPB，得出對應邊成比例，得出OP2=OAOB，即可得出結(jié)論；

（2）設點C（a，b），則ab=3，過點C作CH⊥OA于H；分兩種情況：

①當點B在y軸正半軸上時；當點A在x軸的負半軸上時，BC=2CA不可能；當?shù)?/span>A在x軸的正半軸上時；先求出，由平行線得出△ACH∽△ABO，得出比例式：

，得出OB=3b，OA=a，求出OAOB=，根據(jù)∠APB是∠AOB的智慧角，得出OP，即可得出點P的坐標；
②當點B在y軸的負半軸上時；由題意得出：AB=CA，由AAS證明△ACH≌△ABO，得出OB=CH=b，OA=AH=a，得出OAOB=，求出OP，即可得出點P的坐標．

解：(1)證明：∵∠MON=90°，P為∠MON的平分線上一點，

∴∠AOP=∠BOP=∠MON=45°，

∵∠AOP+∠OAP+∠APO=180°，

∴∠OAP+∠APO=135°，

∵∠APB=135°，

∴∠APO+∠OPB=135°，

∴∠OAP=∠OPB，

∴△AOP∽△POB，

∴，

∴OP2=OAOB，

∴∠APB是∠MON的智慧角；

(2)設點C(a,b)，則ab=3，

過點C作CH⊥OA于H；分兩種情況：

①當點B在y軸正半軸上時；點A在x軸的負半軸上時，如圖2:

BC=2CA不可能;

當點A在x軸的正半軸上時，如圖3:

∵BC=2CA，

∴，

∵CH∥OB，

∴△ACH∽△ABO，

∴,

∴OB=3b,OA=a，

∴OAOB=a3b=ab=，

∵∠APB是∠AOB的智慧角，

∴OP=，

∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，

∴點P到x,y軸的距離相等為

∴點P的坐標為：；

②當點B在y軸的負半軸上時,如圖4,

∵BC=2CA，

∴AB=CA，

∵∠AHC=∠AOB=90°，

又∵∠BAO=∠CAH,

∴△ACH≌△ABO(AAS)，

∴OB=CH=b,OA=AH=a，

∴OAOB=ab=，

∵∠APB是∠AOB的智慧角，

∴OP=

∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，

∴點P到x,y軸的距離相等為，

∴點P的坐標為：；

綜上所述：點P的坐標為：或 .