Question

【題目】如圖1，△ABC 中，AB＝AC，點 D 在 AB 邊上，點 E 在 AC 的延長線上，且 CE＝BD， 連接 DE 交 BC 于點 F．

⑴求證：EF＝DF；

⑵如圖2，過點 D 作 DG⊥BC，垂足為 G，求證：BC＝2FG.

Answer 1

【答案】（1）答案見詳解；（2）答案見詳解.

【解析】

(1)過點D作DM∥AC，如圖1，則∠ACB=∠DMB，∠DMF=∠ECF，進而可得：CE=MD，易證：DMF ECF，即可得到結(jié)論；

(2)過點D作DM∥AC，如圖2，易證：DMF ECF，可得：MF=CF，根據(jù)等腰三角形三線合一，可得：BG=MG，進而可得到結(jié)論.

（1）過點D作DM∥AC，如圖1，

則∠ACB=∠DMB，∠DMF=∠ECF，

∵AB＝AC，

∴∠B=∠ACB，

∴∠B=∠DMB，

∴BD=MD，

∵CE＝BD，

∴CE=MD，

在DMF和ECF中，

∵

∴DMF ECF（AAS）,

∴EF＝DF；

（2）過點D作DM∥AC，如圖2，

由第（1）小題，可知：BD=MD，DMF ECF，

∴MF=CF，

∵DG⊥BC，

∴BG=MG（等腰三角形三線合一），

∴BC=BM+CM=2(GM+FM)=2FG，

圖1 圖2