Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A(-1，0) 、B(3，0) 兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C

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（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）如圖②，用寬為4個(gè)單位長度的直尺垂直于x軸，并沿x軸左右平移，直尺的左右兩邊所在的直線與拋物線相交于P、 Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)），連接PQ，在線段PQ上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)D，連接DP、DQ.

①若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，求△DPQ面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)D 的坐標(biāo)；

②直尺在平移過程中，△DPQ面積是否有最大值？若有，求出面積的最大值；若沒有，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線y=-x2+2x+3；（2）①點(diǎn)D（ ）；②△PQD面積的最大值為8

【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式；
（2）（I）由點(diǎn)P的橫坐標(biāo)可得出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線PQ的表達(dá)式，過點(diǎn)D作DE∥y軸交直線PQ于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，-x2+2x+3），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，-x+），進(jìn)而即可得出DE的長度，利用三角形的面積公式可得出S△DPQ=-2x2+6x+，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；
（II）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為4+t，進(jìn)而可得出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線PQ的表達(dá)式，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，-x2+2x+3），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），進(jìn)而即可得出DE的長度，利用三角形的面積公式可得出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．

（1）將A（-1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：

，解得：，
∴拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x+3．
（2）（I）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-時(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-，），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，-）．
設(shè)直線PQ的表達(dá)式為y=mx+n，
將P（-，）、Q（，-）代入y=mx+n，得：

，解得：，

∴直線PQ的表達(dá)式為y=-x+．
如圖②，過點(diǎn)D作DE∥y軸交直線PQ于點(diǎn)E，

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，-x2+2x+3），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，-x+），
∴DE=-x2+2x+3-（-x+）=-x2+3x+，
∴S△DPQ=DE（xQ-xP）=-2x2+6x+=-2（x-）2+8．
∵-2＜0，
∴當(dāng)x=時(shí)，△DPQ的面積取最大值，最大值為8，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）．
（II）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為4+t，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，-t2+2t+3），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4+t，-（4+t）2+2（4+t）+3），
利用待定系數(shù)法易知，直線PQ的表達(dá)式為y=-2（t+1）x+t2+4t+3．
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，-x2+2x+3），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），
∴DE=-x2+2x+3-[-2（t+1）x+t2+4t+3]=-x2+2（t+2）x-t2-4t，
∴S△DPQ=DE（xQ-xP）=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t=-2[x-（t+2）]2+8．
∵-2＜0，
∴當(dāng)x=t+2時(shí)，△DPQ的面積取最大值，最大值為8．
∴假設(shè)成立，即直尺在平移過程中，△DPQ面積有最大值，面積的最大值為8．