Question

如圖，已知拋物線 y=-x²+bx+c過點A（2，0），對稱軸為y軸，頂點為P．
（1）求該拋物線的表達式，寫出其頂點P的坐標，并畫出其大致圖象；
（2）把該拋物線先向右平移m個單位，再向下平移m個單位（m＞0 ），記新拋物線的頂點為B，與y軸的交點為C．
①試用m的代數(shù)式表示點B、點C的坐標；  ②若∠OBC=45°，試求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）小題的解題思路是把點A的坐標和對稱軸（X=0）代入拋物線y=-x²+bx+c就可求出表達式和頂點坐標；
（2）小題是根據(jù)平移規(guī)律（上加下減右減左加），即可求出新拋物線的頂點B的坐標及與y軸的交點C坐標；
②小題是先證明兩三角形相似，再利用相似三角形的邊之比相等，即可求出m的值．
解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c過點A（2，0），對稱軸為y軸，代入得：

∴b=0，c=4，
∴y=-x²+4，
當x=0時y=4，
P的坐標是（0，4），
大致圖象如圖（1）：
所以：該拋物線的表達式是：y=-x²+4，其頂點P的坐標是：（0，4）．

（2）①∵拋物線先向右平移m個單位，再向下平移m個單位（m＞0）
∴B（m，4-m），
∵y=-（x-m）²+4-m，
當x=0時代入得：y=-m²-m+4，
∴C（0，-m²-m+4），
所以，用m的代數(shù)式表示點B的坐標是：（m，4-m），點C的坐標是：（0，-m²-m+4）．

②過B作BN⊥y軸于N，
∵由已知，拋物線先向右平移m個單位，再向下平移m個單位，
∴PN=BN=m，∠BNP=90°
∠OPB=∠PBN=45°，又∠OBC=45°，
∴∠OPB=∠CBO=45°
又∵∠POB=∠POB，
∴△OCB與△OBP相似．
當點C在y軸正半軸，即-m²-m+4＞0時BO²=OC•OP，
∵BO²=2m²-8m+16，OC=-m²-m+4，OP=4．
解得，
另解：過點C作CD⊥OB于點D，過點B作BE⊥OC于點E，
同理利用△CPB∽△CBO
當點C在y軸負半軸，點-m²-m+4＜0時BC²=OC•CP，
∵BC²=m²+m⁴，OC=m²+m-4，CP=m²+m．
解得（負根舍去）
∴，
所以m的值是或1+．
點評：解此題主要考查對求拋物線的頂點坐標和與y軸交點坐標的掌握，能應用平移規(guī)律求解析式，關鍵是把二次函數(shù)的圖象轉化成相似三角形利用相似三角形的性質來解決．