Question

8．如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點B作BE∥AC，交DC的延長線于點E．
（1）求證：△BDC≌△BEC；
（2）若BE=10，CE=6，連接OE，求OE的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AB=CD，AB∥DC，∠BCD=∠BCE=90°，求出四邊形ABEC為平行四邊形，求出DC=EC，根據(jù)SAS推出全等即可；
（2）過點O作OF⊥CD于點F，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AC=BE，求出OF和EF的長，最后根據(jù)勾股定理求出EF即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB=CD，AB∥DC，∠BCD=∠BCE=90°，
∵AC∥BE，
∴四邊形ABEC為平行四邊形，
∴AB=CE，
∴DC=EC，
在△BCD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BC}\\{∠BCD=∠BCE}\\{DC=EC}\end{array}\right.$
∴△BCD≌△BCE；
（2）解：過點O作OF⊥CD于點F，

∵由（1）知：四邊形ABEC為平行四邊形，
∴AC=BE，
∴BE=BD=10，
∵△BCD≌△BCE，
∴CD=CE=6，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴DO=OB，∠BCD=90°，
∵OF⊥CD，
∴OF∥BC，
∴CF=DF=$\frac{1}{2}$CD=3，
∴EF=6+3=9，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC=8，
∵OB=OD，
∴OF為△BCD的中位線，
∴OF=$\frac{1}{2}$BC=4．
∴在Rt△OEF中，由勾股定理可得OE=$\sqrt{O{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{9}^{2}}$=$\sqrt{97}$．

點評 本題考查了勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能綜合運用知識點進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，題目綜合性比較強，難度偏大．