Question

在平面直角坐標xOy中，（如圖）正方形OABC的邊長為4，邊OA在x軸的正半軸上，邊OC在y軸的正半軸上，點D是OC的中點，BE⊥DB交x軸于點E.
⑴求經(jīng)過點D、B、E的拋物線的解析式；
⑵將∠DBE繞點B旋轉(zhuǎn)一定的角度后，邊BE交線段OA于點F，邊BD交y軸于點G，交⑴中的拋
物線于M（不與點B重合），如果點M的橫坐標為，那么結(jié)論OF=DG能成立嗎？請說明理由.
⑶過⑵中的點F的直線交射線CB于點P，交⑴中的拋物線在第一象限的部分于點Q，且使△PFE為等腰三角形，求Q點的坐標.

Answer 1

解：（1）∵BE⊥DB交x軸于點E，OABC是正方形，∴∠DBC=EBA。
在△BCD與△BAE中，∵∠BCD=∠BAE=90°， BC="BA" ，∠DBC=∠EBA ，
∴△BCD≌△BAE（ASA）。∴AE=CD。
∵OABC是正方形，OA=4，D是OC的中點，
∴A（4，0），B（4，4），C（0，4），D（0，2），∴E（6，0）．
設(shè)過點D（0，2），B（4，4），E（6，0）的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，則有：
，解得 。
∴經(jīng)過點D、B、E的拋物線的解析式為：。
（2）結(jié)論OF=DG能成立．理由如下：
由題意，當∠DBE繞點B旋轉(zhuǎn)一定的角度后，同理可證得△BCG≌△BAF，∴AF=CG。
∵x_M=，∴�！郙（）。
設(shè)直線MB的解析式為y_MB=kx+b，
∵M（），B（4，4），
∴，解得。
∴y_MB=x+6�！郍（0，6）。
∴CG=2，DG=4�！郃F=CG=2，OF=OA﹣AF=2，F(xiàn)（2，0）。
∵OF=2，DG=4，∴結(jié)論OF=DG成立。
（3）如圖，△PFE為等腰三角形，可能有三種情況，分類討論如下：

①若PF=FE。
∵FE=4，BC與OA平行線之間距離為4，
∴此時P點位于射線CB上。
∵F（2，0），∴P（2，4）。
此時直線FP⊥x軸。來]∴x_Q=2。
∴，
∴Q₁（2，）。
②若PF=PE。
如圖所示，∵AF=AE=2，BA⊥FE，∴△BEF為等腰三角形。
∴此時點P、Q與點B重合�！郠₂（4，4）。
③若PE=EF。
∵FE=4，BC與OA平行線之間距離為4，∴此時P點位于射線CB上。
∵E（6，0），∴P（6，4）。
設(shè)直線y_PF的解析式為y_PF=kx+b，∵F（2，0），P（6，4），
∴，解得。∴y_PF=x﹣2。
∵Q點既在直線PF上，也在拋物線上，
∴，化簡得5x²﹣14x﹣48=0，
解得x₁= ，x₂=﹣2（不合題意，舍去）。∴x_Q=2。
∴y_Q=x_Q﹣2=�！郠₃（）。
綜上所述，Q點的坐標為Q₁（2，）或Q₂（4，4）或Q₃（）。

解析