Question

如圖，已知拋物線y=（

1

2

sin45°）x²-2x+n過原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)C，它的頂點(diǎn)為B，四邊形AOBC是菱形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從O點(diǎn)出發(fā)，P沿折線OACB運(yùn)動(dòng)，Q沿折線OBCA運(yùn)動(dòng)．
（1）求出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，并求出菱形AOBC的邊長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)速度的3倍，點(diǎn)Q第一次運(yùn)動(dòng)到BC上，連接PQ交AB于點(diǎn)R，當(dāng)AR=3

2

時(shí)，求直線PQ的解析式；
（3）若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是每秒3個(gè)單位長(zhǎng)，運(yùn)動(dòng)到第一次相遇時(shí)停止．設(shè)△OPQ的面積為S，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，求這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出當(dāng)t為何值時(shí)，△OPQ的面積最大．

Answer 1

分析：（1）先將原點(diǎn)（0，0）代入拋物線的解析式y(tǒng)=（

1

2

sin45°）x²-2x+n中，求出n的值，再利用配方法寫成頂點(diǎn)式，得到頂點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)，可知菱形AOBC的頂點(diǎn)A與頂點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，從而求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，最后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得到菱形AOBC的邊長(zhǎng)；
（2）設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為每秒v個(gè)單位長(zhǎng)，t秒后點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到邊BC上，則可用含vt的代數(shù)式分別表示AP，BQ，再證明△ARP∽△BRQ，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出vt=

8

5

，從而得到點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求出直線PQ的解析式；
（3）根據(jù)題意，首先求出點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇的時(shí)間為

16

5

秒，得出此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)Q在AC上相遇，再分四種情況進(jìn)行討論：①0≤t≤

4

3

；②

4

3

＜t≤2，③2＜t≤

8

3

，④

8

3

＜t≤

16

5

．針對(duì)每一種情況，都需先判斷點(diǎn)P與點(diǎn)Q所在的位置，再根據(jù)面積公式求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，求出最大值．

解答：解：（1）∵拋物線y=（

1

2

sin45°）x²-2x+n過原點(diǎn)O，
∴n=0，
∴拋物線的解析式為y=

2

4

x²-2x．
∵y=

2

4

x²-2x=

2

4

（x-2

2

）²-2

2

，且頂點(diǎn)為B，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2

2

，-2

2

），
∵四邊形AOBC是菱形，
∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2

2

，2

2

），
∴菱形AOBC的邊長(zhǎng)=

(2 2 )2+(2 2 )2

=4；

（2）在y=

2

4

x²-2x中，令y=0，得

2

4

x²-2x=0，
解得x₁=0，x₂=4

2

，則C（4

2

，0）．
∵OC=AB=4

2

，
∴菱形AOBC是正方形，
∴∠AOC=∠ABC=45°．
如圖，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為每秒v個(gè)單位長(zhǎng)，t秒后點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到邊BC上．
∴OP=vt，OB+BQ=3vt，
∴AP=4-vt，BQ=3vt-4，
∵AR=3

2

，∴BR=

2

，
∵AP∥BQ，∴△ARP∽△BRQ，
∴

AR

BR

=

AP

BQ

，∴

4-vt

3vt-4

=

3 2

2

，
解得：vt=

8

5

，
∴OP=

8

5

，P（

4 2

5

，

4 2

5

），
BQ=

4

5

，Q（

12 2

5

，-

8 2

5

）．
設(shè)PQ的解析式為y=kx+b，由題意，
得：

4 2 5 k+b= 4 2 5 12 2 5 k+b=- 8 2 5

，
解得

k=- 3 2 b=2 2

，
∴PQ的解析式為：y=-

3

2

x+2

2

；

（3）∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是每秒3個(gè)單位長(zhǎng)，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇的時(shí)間為：

16

5

秒，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)Q在AC上．
分四種情況：
①當(dāng)0≤t≤

4

3

時(shí)，點(diǎn)Q在OB上，點(diǎn)P在OA上，如圖．
∵OP=2t，OQ=3t，∠POQ=90°，
∴S=

1

2

OP•OQ=

1

2

×2t×3t=3t²，
∵3＞0，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為t=0，
∴在對(duì)稱軸的右側(cè)，S隨t的增大而增大，
∴當(dāng)t=

4

3

時(shí)，S有最大值，此時(shí)S=3×

16

9

=

16

3

；
②當(dāng)

4

3

＜t≤2時(shí)，點(diǎn)Q在BC上，點(diǎn)P在OA上，如圖．
∵OP=2t，
∴S=

1

2

OP•OB=

1

2

×2t×4=4t，
∵4＞0，
∴S隨t的增大而增大，
∴當(dāng)t=2時(shí)，S有最大值，此時(shí)S=4×2=8；
③當(dāng)2＜t≤

8

3

時(shí)，點(diǎn)Q在BC上，點(diǎn)P在AC上，如圖．
∵OA+AP=2t，OB+BQ=3t，
∴AP=2t-4，BQ=3t-4，
∴PC=8-2t，CQ=8-3t，
∴S=S_{正方形OACB}-S_△OAP-S_△OBQ-S_△PCQ
=16-

1

2

×4×（2t-4）-

1

2

×4×（3t-4）-

1

2

×（8-2t）×（8-3t）
=-3t²+10t，
∵-3＜0，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為t=

-10

-6

=

5

3

，
∴在對(duì)稱軸的右側(cè)，S隨t的增大而減小，
∴當(dāng)2＜t≤

8

3

時(shí)，S無最大值；
④當(dāng)

8

3

＜t≤

16

5

時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P都在AC上，如圖．
∵OA+AP=2t，OB+BC+CQ=3t，
∴AP=2t-4，CQ=3t-8，
∴PQ=AC-AP-CQ=4-（2t-4）-（3t-8）=16-5t，
∴S=

1

2

PQ•OA=

1

2

×（16-5t）×4=32-10t，
∵-10＜0，
∴S隨t的增大而減小，
∴當(dāng)

8

3

＜t≤

16

5

時(shí)，S無最大值．
綜上可知，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=

3t2(0≤t≤ 4 3 ) 4t( 4 3 ＜t≤2) -3t2+10t(2＜t≤ 8 3 ) 32-10t( 8 3 ＜t≤ 16 5 )

，當(dāng)t為2時(shí)，△OPQ的面積最大，最大值為8．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，菱形的性質(zhì)，正方形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積的計(jì)算，函數(shù)最值的求法，綜合性較強(qiáng)，難度較大，其中（3）能夠根據(jù)點(diǎn)P與點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度和方向，以及正方形的邊長(zhǎng)對(duì)t的值進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．