Question

【題目】閱讀理解：

若一個整數(shù)能表示成a2+b2（a、b是整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“平和數(shù)”，例如5是“平和數(shù)”，因為5＝22+1，再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x， y是整數(shù)），我們稱M也是“平和數(shù)”．

（1）請你寫一個小于5的“平和數(shù)”，并判斷34是否為“平和數(shù)”．

（2）已知S＝x2+9y2+6x﹣6y+k（x，y是整數(shù)，k是常數(shù)，要使S為“平和數(shù)”，試求出符合條件的一個k值，并說明理由．

（3）如果數(shù)m，n都是“平和數(shù)”，試說明也是“平和數(shù)”．

Answer 1

【答案】（1）2（答案不唯一），是；（2）10，理由見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）利用“平和數(shù)”的定義可得；

（2）利用配方法，將S配成平和數(shù)，可求k的值；

（3）根據(jù)完全平方公式，可證明也是“平和數(shù)”．

（1）∵2=12+12

∴2是平和數(shù)

∵34=52+32

∴34是平和數(shù)

（2）∵S=x2+9y2+6x-6y+k=（x+3）2+（3y-1）2+k-10

∴k=10時，S是平和數(shù)

（3）設(shè)m=a2+b2，n=c2+d2

∴=mn=（a2+b2）（c2+d2）

=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2+2abcd-2abcd

∴mn=（ac+bd）2+（ad-bc）2

∴mn是平和數(shù)

∴也是“平和數(shù)”．