Question

圖1和圖2中，優(yōu)弧

AB

所在⊙O的半徑為2，AB=2

3

．點P為優(yōu)弧

AB

上一點（點P不與A，B重合），將圖形沿BP折疊，得到點A的對稱點A′．
（1）點O到弦AB的距離是

 

，當BP經(jīng)過點O時，∠ABA′=

 

°；
（2）當BA′與⊙O相切時，如圖2，求折痕的長：
（3）若線段BA′與優(yōu)弧

AB

只有一個公共點B，設∠ABP=α．確定α的取值范圍．

Answer 1

考點：圓的綜合題,含30度角的直角三角形,勾股定理,垂徑定理,切線的性質(zhì),翻折變換（折疊問題）,銳角三角函數(shù)的定義

專題：綜合題,壓軸題

分析：（1）利用垂徑定理和勾股定理即可求出點O到AB的距離；利用銳角三角函數(shù)的定義及軸對稱性就可求出∠ABA′．
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OBA′=90°，從而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，進而求出∠OBP=30°．過點O作OG⊥BP，垂足為G，容易求出OG、BG的長，根據(jù)垂徑定理就可求出折痕的長．
（3）根據(jù)點A′的位置不同，分點A′在⊙O內(nèi)和⊙O外兩種情況進行討論．點A′在⊙O內(nèi)時，線段BA′與優(yōu)弧

AB

都只有一個公共點B，α的范圍是0°＜α＜30°；當點A′在⊙O的外部時，從BA′與⊙O相切開始，以后線段BA′與優(yōu)弧

AB

都只有一個公共點B，α的范圍是60°≤α＜120°．從而得到：線段BA′與優(yōu)弧

AB

只有一個公共點B時，α的取值范圍是0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．

解答：解：（1）①過點O作OH⊥AB，垂足為H，連接OB，如圖1①所示．
∵OH⊥AB，AB=2

3

，
∴AH=BH=

3

．
∵OB=2，
∴OH=1．
∴點O到AB的距離為1．
②當BP經(jīng)過點O時，如圖1②所示．
∵OH=1，OB=2，OH⊥AB，
∴sin∠OBH=

OH

OB

=

1

2

．
∴∠OBH=30°．
由折疊可得：∠A′BP=∠ABP=30°．
∴∠ABA′=60°．
故答案為：1、60．

（2）過點O作OG⊥BP，垂足為G，如圖2所示．
∵BA′與⊙O相切，
∴OB⊥A′B．
∴∠OBA′=90°．
∵∠OBH=30°，
∴∠ABA′=120°．
∴∠A′BP=∠ABP=60°．
∴∠OBP=30°．
∴OG=

1

2

OB=1．
∴BG=

3

．
∵OG⊥BP，
∴BG=PG=

3

．
∴BP=2

3

．
∴折痕的長為2

3

．

（3）若線段BA′與優(yōu)弧

AB

只有一個公共點B，
Ⅰ．當點A′在⊙O的內(nèi)部時，此時α的范圍是0°＜α＜30°．
Ⅱ．當點A′在⊙O的外部時，此時α的范圍是60°≤α＜120°．
綜上所述：線段BA′與優(yōu)弧

AB

只有一個公共點B時，α的取值范圍是0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、三角函數(shù)的定義、30°角所對的直角邊等于斜邊的一半、翻折問題等知識，考查了用臨界值法求α的取值范圍，有一定的綜合性．第（3）題中α的范圍可能考慮不夠全面，需要注意．