Question

如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，若AB=10cm．
（1）求AC的長；
（2）求△BDE的周長．

Answer 1

考點：角平分線的性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）設(shè)AC=xcm，則BC=AC=xcm．在直角△ABC中，利用勾股定理得出AC²+BC²=AB²，即x²+x²=10²，解方程即可求解；
（2）根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CD=ED，再利用“HL”證明Rt△ACD和Rt△AED全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AC=AE，然后求出△DEB的周長=AB=10cm．

解答：解：（1）設(shè)AC=xcm，則BC=AC=xcm．
∵在△ABC，∠C=90°，
∴AC²+BC²=AB²，即x²+x²=10²，
解得x=5

2

，
故AC的長為5

2

cm；

（2）∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，∠C=90°，
∴CD=ED．
在Rt△ACD和Rt△AED中，

AD=AD CD=ED

，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
又∵AC=BC，
∴△BDE的周長=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10cm．

點評：本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，難度適中，求出△DEB的周長=AB是解題的關(guān)鍵．