Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，PB、PC分別是⊙O的切線，切點為B、C，PC、BA的延長線交于點D，DE⊥PO，交PO的延長線于點E．
（1）求證：∠DPO=∠EDB；
（2）若PB=3，DB=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PC、PB是⊙O的切線，

∴∠DPO=∠OPB，

∵DE⊥PO，∴∠E=90°，

∵點B是切點，PB是切線

所以∠PBD=90°，

∴∠E=∠PBD，又∵∠POB=∠EOD

∴∠EDB=∠OPB

∴∠DPO=∠EDB

（2）解：連接OC，

∵PC、PB是⊙O的切線，切點為B、C，

∴PB=PC，∠PCO=90°．

在Rt△PBD中，∵PB=3，DB=4，∴PD=5，

∴DC=PD﹣PC=2

設⊙O半徑為r，則OD=BD﹣r=4﹣r

在Rt△DCO中，r2+22=（4﹣r）2

∴r=1.5

即⊙O的半徑為1.5．

【解析】（1）由切線長定理，知∠DPO=∠BPO，在△EOD和△BOP中，根據等角的余角相等，得∠BPO=∠EDB，從而問題得證．（2）在Rt△PBD中由勾股定理易得PD的長、由切線長定理知PB=PC，可計算出CD的長；若設圓的半徑為r，OD=4﹣r，OC=r，在Rt△DCO中，根據勾股定理得到關于r的方程，求出⊙O的半徑．
【考點精析】認真審題，首先需要了解切線的性質定理(切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑)．