Question

已知，如圖二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與y軸交于點(diǎn)C（0，4），與x軸交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)B（4，0），拋物線的對(duì)稱軸為x=1，直線AD交拋物線于點(diǎn)D（2，m）．
（1）求二次函數(shù)的解析式并寫出D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)E是BD中點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△QBE和△ABD相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題,分類討論

分析：（1）運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出二次函數(shù)的解析式，然后把點(diǎn)D（2，m）代入二次函數(shù)的解析式，就可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，如圖，根據(jù)勾股定理可求出BD，易求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而得到AB長，然后分兩種情況（①若△QBE∽△ABD，②若△QBE∽△DBA）討論，只需運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可求出BQ，從而得到OQ，即可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題可得：

c=4 16a+4b+c=0 - b 2a =1

，
解得：

a=- 1 2 b=1 c=4

，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-

1

2

x²+x+4．
∵點(diǎn)D（2，m）在拋物線上，
∴m=-

1

2

×2²+2+4=4，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，4）．

（2）過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，如圖，
∵點(diǎn)D（2，4），點(diǎn)B（4，0），
∴DH=4，OH=2，OB=4，
∴BH=2，∴DB=

DH2+HB2

=2

5

．
∵點(diǎn)E為DB的中點(diǎn)，
∴BE=

1

2

BD=

5

．
令y=0得-

1

2

x²+x+4=0，
解得：x₁=4，x₂=-2，
∴點(diǎn)A為（-2，0），
∴AB=4-（-2）=6．
①若△QBE∽△ABD，
則

BQ

BA

=

BE

BD

，
∴

BQ

6

=

5

2 5

，
解得：BQ=3，
∴OQ=OB-BQ=4-3=1，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，0）；
②若△QBE∽△DBA，
則

BQ

BD

=

BE

BA

，
∴

BQ

2 5

=

5

6

，
∴BQ=

5

3

，
∴OQ=OB-BQ=4-

5

3

=

7

3

，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

7

3

，0）．
綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，0）或（

7

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)及分類討論是解決第（2）小題的關(guān)鍵．