Question

如圖，△ABC是等腰三角形，點P是斜邊AB上一點，將△CAP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△CBP′的位置，若AC=2

2

，AP=1，求PP′的長度．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：計算題

分析：作PD⊥AC于D，如圖，由△ACB為等腰直角三角形得到∠A=45°，則可判斷△APD為等腰直角三角形，所以PD=AD=

2

2

AP=

2

2

，接著得到CD=AC-AD=

3 2

2

，再在Rt△PCD中利用勾股定理計算出CP=

5

，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CP=CP′，∠PCP′=90°，則可判斷△PCP′為等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形計算PP′的長度．

解答：解：作PD⊥AC于D，如圖，
∵△ACB為等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴△APD為等腰直角三角形，
∴PD=AD=

2

2

AP=

2

2

，
∴CD=AC-AD=2

2

-

2

2

=

3 2

2

，
在Rt△PCD中，∵CD=

3 2

2

，PD=

2

2

，
∴CP=

PD2+CD2

=

5

，
∵△CAP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△CBP′的位置，
∴CP=CP′，∠PCP′=90°，
∴△PCP′為等腰直角三角形，
∴PP′=

2

CP=

2

•

5

=

10

．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．