Question

17．如圖，若△ABC的邊AB=2，AC=3，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分別表示以AB、BC、AC為邊的正方形，則圖中三個(gè)陰影部分面積之和為3$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 把△CFH繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使CF與BC重合，H旋轉(zhuǎn)到H'的位置，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)有A、C、H'在一直線上，且BC為△ABH'的中線，得到S_△CHF=S_△BCH′=S_△ABC，同理：S_△BGI=S_△ADE=S_△ABC，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案．

解答 解：如圖，把△CFH繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使CF與BC重合，H旋轉(zhuǎn)到H'的位置

∵四邊形ACHD為正方形，∠ACH=90°，CA=CH=CH′，
∴A、C、H'在一直線上，且BC為△ABH'的中線，
∴S_△CHF=S_△BCH′=S_△ABC，
同理：S_△ADE=S_△BGI=S_△ABC，
所以陰影部分面積之和為S_△ABC的3倍，
又∵AB=2，AC=3，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}=\sqrt{5}$
∴S_{陰影部分面積}=3S_△ABC=3×$\frac{1}{2}×$AB×BC=3×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×2=3$\sqrt{5}$．
故答案為：3$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理，利用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后圖形全等得出S_△CHF=S_△BCH′，再利用三角形中線分三角形的面積相等得出S_△BCH′=S_△ABC是解題關(guān)鍵．