Question

【題目】如圖1，矩形DEFG中，DG＝2，DE＝3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，FG，BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)O，且FG⊥BC，OG＝2，OC＝4．將△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°≤α＜180°）得到△A′B′C′．

（1）當(dāng)α＝30°時(shí)，求點(diǎn)C′到直線OF的距離．

（2）在圖1中，取A′B′的中點(diǎn)P，連結(jié)C′P，如圖2．

①當(dāng)C′P與矩形DEFG的一條邊平行時(shí)，求點(diǎn)C′到直線DE的距離．

②當(dāng)線段A′P與矩形DEFG的邊有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求該交點(diǎn)到直線DG的距離的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)C′到直線OF的距離為2；（2）①點(diǎn)C′到直線DE的距離為2+2；②2≤d≤﹣2或d＝3．

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)C′作C′H⊥OF于H．根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，解直角三角形求出CH即可．

（2）①分兩種情形：當(dāng)C′P∥OF時(shí)，過(guò)點(diǎn)C′作C′M⊥OF于M；當(dāng)C′P∥DG時(shí)，過(guò)點(diǎn)C′作C′N⊥FG于N．通過(guò)解直角三角形，分別求出C′M，C′N即可．

②設(shè)d為所求的距離．第一種情形：當(dāng)點(diǎn)A′落在DE上時(shí)，連接OA′，延長(zhǎng)ED交OC于M．當(dāng)點(diǎn)P落在DE上時(shí)，連接OP，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥C′B′于Q．結(jié)合圖象可得結(jié)論．

第二種情形：當(dāng)A′P與FG相交，不與EF相交時(shí)，當(dāng)點(diǎn)A′在FG上時(shí)，A′G＝2﹣2，即d＝2﹣2；當(dāng)點(diǎn)P落在EF上時(shí)，設(shè)OF交A′B′于Q，過(guò)點(diǎn)P作PT⊥B′C′于T，過(guò)點(diǎn)P作PR∥OQ交OB′于R，連接OP．求出QG可得結(jié)論．

第三種情形：當(dāng)A′P經(jīng)過(guò)點(diǎn)F時(shí)，此時(shí)顯然d＝3．綜上所述即可得結(jié)論．

解：（1）如圖，

過(guò)點(diǎn)C′作C′H⊥OF于H．

∵△A′B′C′是由△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，

∴C′O=CO=4，

在Rt△HC′中，

∵∠HC′O＝α＝30°，

∴C′H＝C′Ocos30°＝2，

∴點(diǎn)C′到直線OF的距離為2．

（2）①如圖，當(dāng)C′P∥OF時(shí)，過(guò)點(diǎn)C′作C′M⊥OF于M．

∵△A′B′C′為等腰直角三角形，P為A′B′的中點(diǎn)，

∴∠A′C′P=45°，

∵∠A′B′O=90°，

∴∠OC′P=135°.

∵C′P∥OF，

∴∠O＝180°﹣∠OC′P＝45°，

∴△OC′M是等腰直角三角形，

∵OC′＝4，

∴C′M＝C′Ocos45°=4×=，

∴點(diǎn)C′到直線DE的距離為．

如圖，當(dāng)C′P∥DG時(shí)，過(guò)點(diǎn)C′作C′N⊥FG于N．

同法可證△OC′N是等腰直角三角形，

∴C′N＝，

∵GD=2，

∴點(diǎn)C′到直線DE的距離為．

②設(shè)d為所求的距離．

第一種情形：如圖，當(dāng)點(diǎn)A′落在DE上時(shí)，連接OA′，延長(zhǎng)ED交OC于M．

∵OC=4，AC=2，∠ACO=90°，

∵OM＝2，∠OMA′＝90°，

∴A′M＝＝＝4，

又∵OG=2，

∴DM=2，

∴A′D＝A′M-DM=4-2=2，

即d＝2，

如圖，當(dāng)點(diǎn)P落在DE上時(shí)，連接OP，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥C′B′于Q．

∵P為A′B′的中點(diǎn)，∠A′C′B′=90°，

∴PQ∥A′C′，

∴

∵B′C′=2

∴PQ＝1，CQ=1，

∴Q點(diǎn)為B′C′的中點(diǎn)，也是旋轉(zhuǎn)前BC的中點(diǎn)，

∴OQ=OC+CQ=5

∴OP＝＝，

∴PM＝，

∴PD＝，

∴d＝﹣2，

∴2≤d≤﹣2．

第二種情形：當(dāng)A′P與FG相交，不與EF相交時(shí)，當(dāng)點(diǎn)A′在FG上時(shí)，A′G＝2﹣2，即d＝2﹣2，

如圖，當(dāng)點(diǎn)P落在EF上時(shí)，設(shè)OF交A′B′于Q，過(guò)點(diǎn)P作PT⊥B′C′于T，過(guò)點(diǎn)P作PR∥OQ交OB′于R，連接OP．

由上可知OP＝，OF＝5，

∴FP＝＝＝1，

∵OF＝OT，PF＝PT，∠F＝∠PTO＝90°，

∴Rt△OPF≌Rt△OPT（HL），

∴∠FOP＝∠TOP，

∵PQ∥OQ，

∴∠OPR＝∠POF，

∴∠OPR＝∠POR，

∴OR＝PR，

∵PT2+TR2＝PR2，

∴PR＝2.6，RT＝2.4，

∵△B′PR∽△B′QO，

∴＝，

∴＝，

∴OQ＝，

∴QG＝OQ﹣OG＝，即d＝

∴2﹣2≤d＜，

第三種情形：當(dāng)A′P經(jīng)過(guò)點(diǎn)F時(shí)，如圖，

此時(shí)FG=3，即d＝3．

綜上所述，2≤d≤﹣2或d＝3．