Question

5．如圖，I是△ABC的內(nèi)心，AI⊥DE，DB=1，CE=3，DE=2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)I是△ABC的內(nèi)心，可知BI、AI、CI是各內(nèi)角的平分線，設(shè)∠ABI=x，∠ACI=y，∠BAI=z，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得：x+y+z=90°，在△ABI中，根據(jù)內(nèi)角和得∠BID=90°-x-z，則∠BID=y=∠ACI，再由等腰三角形AED中三線合一的性質(zhì)得：兩底角相等，則兩底角的外角也相等；證明△BDI∽△IEC，得$\frac{BD}{IE}=\frac{DI}{EC}$，代入計算可求出IE的長，則DE=2IE，求出結(jié)論．

解答 解：設(shè)∠ABI=x，∠ACI=y，∠BAI=z，
∵I是△ABC的內(nèi)心，
∴2x+2y+2z=180°，
∴x+y+z=90°，
在△ABI中，∠ABI+∠BAI+∠AIB=180°，
∵AI⊥DE，
∴∠AID=90°，
∴x+z+90°+∠BID=180°，
∴∠BID=90°-x-z，
∴∠BID=y=∠ACI，
∵AI平分∠BAC，
∴AD=AE，
∴∠ADI=∠AEI，DI=EI，
∴∠BDI=∠IEC，
∴△BDI∽△IEC，
∴$\frac{BD}{IE}=\frac{DI}{EC}$，
∵DB=1，CE=3，
∴$\frac{1}{IE}=\frac{IE}{3}$，
∴IE=$\sqrt{3}$，
∴DE=2IE=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)心，要知道三角形的內(nèi)心是內(nèi)切圓的圓心，三條角平分線的交點；反之也成立，即知道內(nèi)心是I，則IA、IB、IC是三個角的平分線；本題的關(guān)鍵是證明兩三角形相似，利用角平分線平分角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出等量關(guān)系式，利用兩角對應(yīng)相等，證明相似．