Question

17．如圖，點(diǎn)P是拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+1上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，線段PO交拋物線于點(diǎn)C，PB⊥x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，2），當(dāng)點(diǎn)C是OP的中點(diǎn)時(shí)，下列說法錯(cuò)誤的是（　�。�

• A． PA=PB
• B． ∠POB=45°
• C． PA=2AC
• D． PB=3

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)P（x，$\frac{1}{4}$x²+1），由C為OP中點(diǎn)可得點(diǎn)C坐標(biāo)為（$\frac{x}{2}$，$\frac{1}{8}$x²+$\frac{1}{2}$），將點(diǎn)C坐標(biāo)代入拋物線解析式求得x的值，即可知點(diǎn)P、C的坐標(biāo)，根據(jù)PB⊥x軸于點(diǎn)B知PB、OB的長，由點(diǎn)A坐標(biāo)（0，2）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算AC、PA的長度，再逐一判斷各選項(xiàng)即可．

解答 解：∵點(diǎn)P是拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+1上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，
∴設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，$\frac{1}{4}$x²+1），
∵點(diǎn)C是OP的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（$\frac{x}{2}$，$\frac{1}{8}$x²+$\frac{1}{2}$），
∵點(diǎn)C在拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+1上，
∴$\frac{1}{4}$（$\frac{x}{2}$）²+1=$\frac{1}{8}$x²+$\frac{1}{2}$，
解得：x=2$\sqrt{2}$或x=-2$\sqrt{2}$（舍），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，$\frac{3}{2}$），
A、由PB⊥x軸于點(diǎn)B知PB=3，
由A（0，2）得PA=$\sqrt{（0-2\sqrt{2}）^{2}+（2-3）^{2}}$=3，
∴PA=PB；故A選項(xiàng)正確；

B、在RT△POB中，∵PB=3，OB=2$\sqrt{2}$，
∴PB≠OB，
∴∠POB≠45°，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、由A（0，2）、C（$\sqrt{2}$，$\frac{3}{2}$）知AC=$\sqrt{（\sqrt{2}-0）^{2}+（\frac{3}{2}-2）^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
∵PA=3，
∴PA=2AC，故C選項(xiàng)正確；

D、由點(diǎn)P（2$\sqrt{2}$，3）且PB⊥x軸于點(diǎn)B知PB=3，故D選項(xiàng)正確；
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及兩點(diǎn)間距離的計(jì)算，根據(jù)點(diǎn)P及OP中點(diǎn)C均在拋物線上求得拋物線解析式是解題的關(guān)鍵