Question

4．如圖，已知二次函數(shù)y=（x+2）²的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．
（1）求點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)B平行x軸的直線交拋物線于點(diǎn)C，求四邊形OACB的面積；
（3）是否存在點(diǎn)P，使以P，A，B，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）已知二次函數(shù)y=（x+2）²的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．直接令x=0，和y=0求解即可；
（2）由過(guò)點(diǎn)B平行x軸的直線交拋物線于點(diǎn)C，確定出點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出BC，OA，OB，即可求出梯形的面積；
（3）分兩種情況計(jì)算：①BC為邊時(shí)，有BC=AP=4，且點(diǎn)P必在x軸上，設(shè)P（m，0），建立方程求解，②BC為對(duì)角線時(shí)，對(duì)角線PA和BC互相平分，設(shè)P（x，y）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程求解．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=（x+2）²的圖象與x軸交于點(diǎn)A，
∴令x=0，
∴y=4，
∴B（0，4）
∵二次函數(shù)y=（x+2）²的圖象與y軸交于點(diǎn)B，
令y=0，
∴（x+2）²=0，
∴x=-2，
∴A（-2，0）
（2）∵過(guò)點(diǎn)B平行x軸的直線交拋物線于點(diǎn)C，
∴4=（x+2）²
∴x₁=0，x₂=-4，
∴C（-4，4），
∴BC=4，OB=4，OA=2，
∴S_{四邊形OACB}=$\frac{1}{2}$（OA+BC）×OB
=$\frac{1}{2}$×6×4
=12；
（3）①BC為邊時(shí)，有BC=AP=4，且點(diǎn)P必在x軸上，設(shè)P（m，0），
∴AP=|m+2|，
∴|m+2|=4，
∴m₁=2，m₂=-6，
∴P₁（2，0），P₂（-6，0），
②BC為對(duì)角線時(shí)，對(duì)角線PA和BC互相平分，設(shè)P（x，y）
根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，-2+x=-2×2，0+y=4×2，
∴x=-2，y=8，
∴P₃（-2，8）．
即：滿足條件的P點(diǎn)有三個(gè)，P₁（2，0），P₂（-6，0），P₃（-2，8）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了特殊點(diǎn)的坐標(biāo)的確定，梯形的面積公式，平行四邊形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是分情況解決問(wèn)題的思想．