Question

18．用一塊寬度為5m的長方形鐵片彎折成如圖所示的梯形流水槽，其中BC∥AD，AB=DC，要使流水的截面面積最大，彎折的長度（AB的長）應(yīng)是多少？

Answer 1

分析 設(shè)梯形的面積為S，梯形的腰長為x米，BC=5-2x，作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，就有∠AEB=∠DEB=∠DFC=∠AFC=90°，根據(jù)梯形的性質(zhì)就可以得出AD∥BC，就可以得出∠EBC=90°，得出∠ABE=30°，就有AE=DF=0.5x，AD=5-2x+x=5-x，由勾股定理就可以得出BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，由梯形的面積公式就可以得出S與x之間的關(guān)系式，就可以得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)梯形的面積為S，梯形的腰長AB=CD=x米．
∴BC=5-2x．
如圖，作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，

∴∠AEB=∠DEB=∠DFC=∠AFC=90°
∵四邊形ABCD是梯形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠DCB=120°．
∴∠EBC=90°，
∴四邊形EBCF是矩形，∠ABE=30°
∴EF=BC=5-2x．AE=DF=0.5x．
∴AD=5-2x+0.5x+0.5x=5-x．
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x．
∴S=$\frac{1}{2}$（5-2x+5-x）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x
=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x²+$\frac{5\sqrt{3}}{2}$x
=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$（x-$\frac{5}{3}$）²+$\frac{25\sqrt{3}}{12}$，
故當(dāng)x=$\frac{5}{3}$時，S取得最大值，最大值為$\frac{25\sqrt{3}}{12}$．
答：要使流水的截面面積最大，彎折的長度（AB的長）應(yīng)是$\frac{5}{3}$米．

點評 本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，梯形的面積公式的運用，勾股定理的運用，矩形的性質(zhì)的運用，等腰梯形的性質(zhì)的運用，解答時求出拋物線的解析式是關(guān)鍵．