Question

如圖，在平面直角坐標系中，坐標軸上有A、B、C、D四個點，且OA=OC=2OD=4OB=4．
（1）求經(jīng)過A、D兩點的直線表達式及經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的表達式．
（2）E為拋物線的頂點，在直線AD上有一動P，求當(dāng)S_△OAP﹕S_{四邊形AECB}=1﹕7時點P的坐標．
（3）點M是第一象限內(nèi)的拋物線上的一個動點，過點M向x軸作垂線，垂足為N，問：是否存在點M使以O(shè)、M、N為頂點的三角形與△AOD相似？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）求出OB、OD的長，然后寫出點A、B、C、D的坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式和拋物線的解析式即可；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出頂點E的坐標，再根據(jù)四邊形AECB的面積等于兩個直角三角形的面積加上一個梯形的面積列式求解，再求出△OAP的面積，然后求出點P到OA的距離，再分點P在x軸下方和上方兩種情況求出點P的縱坐標，然后代入直線AD的解析式計算即可求出點P的坐標；
（3）根據(jù)拋物線解析式設(shè)出點M的坐標，從而得到OM、MN的長，再分兩種情況根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式求解即可．

解答：解：（1）∵2OD=4OB=4，
∴OD=2，OB=1，
∴B（-1，0），D（0，-2），
∵OA=OC=4，
∴A（4，0），C（0，4），
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

4k+b=0 b=-2

，
解得

k= 1 2 b=-2

，
∴直線AD的解析式為y=

1

2

x-2，
設(shè)經(jīng)過A、B、C三點的拋物線解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
則

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=4

，
解得

a=-1 b=3 c=4

，
∴拋物線的解析式為y=-x²+3x+4；

（2）∵y=-x²+3x+4=-（x-

3

2

）²+

25

4

，
∴頂點E的坐標為（

3

2

，

25

4

），
∴S_{四邊形AECB}=

1

2

×1×4+

1

2

×（4+

25

4

）×

3

2

+

1

2

×（4-1.5）×

25

4

，
=2+

123

16

+

125

16

，
=

35

2

，
設(shè)點P到OA的距離為h，∵S_△OAP：S_{四邊形AECB}=1：7，
∴

1

2

×4h=

35

2

×

1

7

，
解得h=

5

4

，
①點P在x軸下方時，點P的縱坐標為-

5

4

，
此時，

1

2

x-2=-

5

4

，
解得x=

3

2

，
點P的坐標為（

3

2

，-

5

4

），
點P在x軸上方時，點P的縱坐標為

5

4

，
此時，

1

2

x-2=

5

4

，
解得x=

13

2

，
所以，點P的坐標為（

13

2

，

5

4

），
綜上所述，點P的坐標為（

3

2

，-

5

4

）或（

13

2

，

5

4

）；

（3）設(shè)拋物線上點M的坐標為（x，-x²+3x+4），
∵MN⊥x軸，
∴OM=x，MN=-x²+3x+4，
∵以O(shè)、M、N為頂點的三角形與△AOD相似，
∴

-x2+3x+4

x

=

4

2

，
整理得，x²-x-4=0，
解得x₁=

1+ 17

2

，x₂=

1- 17

2

（舍去），
此時，-x²+3x+4=-（

1+ 17

2

）²+3×

1+ 17

2

+4=1+

17

，
所以，點M的坐標為（

1+ 17

2

，1+

17

）；
或

-x2+3x+4

x

=

2

4

，
整理得，2x²-5x-8=0，
解得x₁=

5+ 89

4

，x₂=

5- 89

4

（舍去），
此時，-x²+3x+4=-（

5+ 89

4

）²+3×

5+ 89

4

+4=

5

8

+

89

8

，
所以，點M的坐標為（

5+ 89

4

，

5

8

+

89

8

），
綜上所述，存在點M（

1+ 17

2

，1+

17

）或（

5+ 89

4

，

5

8

+

89

8

），使以O(shè)、M、N為頂點的三角形與△AOD相似．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則三角形和四邊形求面積的方法，相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，運算量較大，計算時要仔細認真．