Question

已知，如圖，AB是⊙O的直徑，M，N分別為AO、BO的中點，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分別為M，N．
求證：AC=BD．

Answer 1

【答案】分析：連接OC、OD，根據(jù)已知條件，易證△OCM≌△ODN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知，∠AOC=∠BOD，根據(jù)圓心角、弦、弧之間的關(guān)系定理可知，AC=BD．
解答：證明：連接OC、OD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AO=BO，
∵M(jìn)，N分別為AO、BO的中點，
∴OM=ON，
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠CMO=∠DNO=90°，
∴△OCM與△ODN都是直角三角形，
又∵OC=OD，
∴△OCM≌△ODN（HL），
∴∠AOC=∠BOD，
∴AC=BD．
點評：本題考查了圓心角、弦、弧之間的關(guān)系定理，此定理應(yīng)用非常廣泛，為證明線段相等和角的相等提供了依據(jù)．