Question

【題目】如圖1，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，OB＝OC．點D在函數(shù)圖象上，CD∥x軸，且CD＝4，直線1是拋物線的對稱軸，E是拋物線的頂點．

（1）求b、c的值；

（2）如圖1，連接BE，線段OC上的點F關(guān)于直線l的對稱點F'恰好在線段BE上，求點F的坐標(biāo)；

（3）如圖2，動點P在線段OB上，過點P作x軸的垂線分別與BC交于點M，與拋物線交于點N．拋物線上有一點Q，使得△PQN與△APM的面積相等，請求出點Q到直線PN的距離．

Answer 1

【答案】（1）b＝﹣4，c＝﹣5；（2）點F的坐標(biāo)為（0，﹣3）；（3）點Q到直線PN的距離為1．

【解析】

（1）CD＝4，則函數(shù)對稱軸x＝2＝﹣b，即：b＝﹣4，則函數(shù)表達(dá)式為：y＝x2﹣4x+c，OB＝OC，則點B坐標(biāo)為（﹣c，0），把點B坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

（2）直線BE的表達(dá)式為：y＝3x﹣15，把x＝4代入上式得：y＝3×4﹣15＝﹣3，即：點坐標(biāo)為F′（4，﹣3），即可求解；

（3）S△APM＝×PM×AP，S△PQN＝×PN×d，利用S△PQN＝S△APM，即可求解．

（1）CD＝4，則函數(shù)對稱軸x＝2＝﹣b，即：b＝﹣4，

則函數(shù)表達(dá)式為：y＝x2﹣4x+c，OB＝OC，則點B坐標(biāo)為（﹣c，0），

把點B坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，解得：c＝﹣5，

答：b＝﹣4，c＝﹣5；

（2）二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝x2+4x﹣5，

函數(shù)對稱軸為x＝2，則點E坐標(biāo)為（2，﹣9），

把點E、B坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：

y＝mx+n得：，解得：，

則直線BE的表達(dá)式為：y＝3x﹣15，

由題意得：點F′的橫坐標(biāo)為4，把x＝4代入上式得：y＝3×4﹣15＝﹣3

即：點坐標(biāo)為F′（4，﹣3），

∴點F的坐標(biāo)為（0，﹣3）

（3）設(shè)：Q到直線PN的距離為d，點P坐標(biāo)為（m，0），則點N（m，m2﹣4m﹣5），

直線B、C的表達(dá)式為：y＝x﹣5，

則點M（m，m﹣5），

S△APM＝×PM×AP＝（0﹣m+5）（m+1）＝﹣（m2﹣4m﹣5），

S△PQN＝×PN×d＝﹣（m2﹣4m﹣5）d，

∵S△PQN＝S△APM，

∴d＝1，

點Q到直線PN的距離為1．