Question

如圖，在以O為圓心的圓中，弦CD垂直于直徑AB，垂足為H，弦BE與半徑OC相交于點F，且OF=FC，弦DE與弦AC相交于點G．
（1）求證：AG=GC；
（2）若AG=，AH：AB=1：3，求△CDG的面積與△BOF的面積．

Answer 1

解：（1）證明：連接AD，BC，BD，
∵AB是直徑，AB⊥CD，
∴BC=BD，∠CAB=∠DAB，
∴∠DAG=2∠CAB，
∵∠BOF=2∠CAB，
∴∠BOF=∠DAG，
又∵∠OBF=∠ADG，
∴△BOF∽△DAG，
∴=，
∵OB=OC=2OF，
∴=2，
又∵AC=DA，
∴AC=2AG，
∴AG=GC；

（2）解：連接BC，則∠BCA=90°，
又∵CH⊥AB，
∴AC²=AH•AB，
∵AC=2AG=2，AH：AB=1：3，
∴（2）²=AB•AB，
∴AB=6，∴AH=2，
∴CH=2，
∴S_△ACD=CD•AH=×2×4=4，
又∵AG=CG，
∴S_△CDG=S_△DAG=S_△ACD=2，
∵△BOF∽△DAG，
∴=（）²=（）²=，
∴S_△BOF=．
分析：（1）連接AD，BC，BD，根據(jù)圓周角定理可求出∠BOF=∠DAG，再根據(jù)相似三角形的判定定理求出△BOF∽△DAG，由相似三角形對應邊成比例即可得出=，再根據(jù)OF=FC、AG=GC即可求解；
（2）連接BC，由圓周角定理可知∠BCA=90°，再根據(jù)射影定理AC²=AH•AB，再分別求出△ACD、△CDG的面積，利用相似三角形的判定定理可得出△BOF∽△DAG，再由相似三角形的性質(zhì)即可求解．
點評：本題考查的是垂徑定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、射影定理，涉及面較廣，難度較大，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．