Question

【題目】已知，AB∥CD，點E為射線FG上一點．
（1）如圖1，直接寫出∠EAF、∠AED、∠EDG之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，當(dāng)點E在FG延長線上時，求證：∠EAF=∠AED+∠EDG；
（3）如圖3，AI平分∠BAE，DI交AI于點I，交AE于點K，且∠EDI：∠CDI=2：1，∠AED=20°，∠I=30°，求∠EKD的度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∠AED=∠EAF+∠EDG．

理由：如圖1，過E作EH∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EH，

∴∠EAF=∠AEH，∠EDG=∠DEH，

∴∠AED=∠AEH+∠DEH=∠EAF+∠EDG；

（2）解：證明：如圖2，設(shè)CD與AE交于點H，

∵AB∥CD，

∴∠EAF=∠EHG，

∵∠EHG是△DEH的外角，

∴∠EHG=∠AED+∠EDG，

∴∠EAF=∠AED+∠EDG；

（3）解：）∵AI平分∠BAE，

∴可設(shè)∠EAI=∠BAI=α，則∠BAE=2α，

∵AB∥CD，

∴∠CHE=∠BAE=2α，

∵∠AED=20°，∠I=30°，∠DKE=∠AKI，

∴∠EDI=α+30°﹣20°=α+10°，

又∵∠EDI：∠CDI=2：1，

∴∠CDI= ∠EDK= α+5°，

∵∠CHE是△DEH的外角，

∴∠CHE=∠EDH+∠DEK，

即2α= α+5°+α+10°+20°，

解得α=70°，

∴∠EDK=70°+10°=80°，

∴△DEK中，∠EKD=180°﹣80°﹣20°=80°．

【解析】（1）過E作EH∥AB，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可得出∠AED=∠AEH+∠DEH=∠EAF+∠EDG；（2）設(shè)CD與AE交于點H，根據(jù)∠EHG是△DEH的外角，即可得出∠EHG=∠AED+∠EDG，進(jìn)而得到∠EAF=∠AED+∠EDG；（3）設(shè)∠EAI=∠BAI=α，則∠CHE=∠BAE=2α，進(jìn)而得出∠EDI=α+10°，∠CDI= α+5°，再根據(jù)∠CHE是△DEH的外角，可得∠CHE=∠EDH+∠DEK，即2α= α+5°+α+10°+20°，求得α=70°，即可根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得到∠EKD的度數(shù)．
【考點精析】關(guān)于本題考查的平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和外角，需要了解兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；三角形的三個內(nèi)角中，只可能有一個內(nèi)角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角才能得出正確答案．