Question

【題目】給定一個十進(jìn)制下的自然數(shù)，對于每個數(shù)位上的數(shù)，求出它除以的余數(shù)，再把每一個余數(shù)按照原來的數(shù)位順序排列，得到一個新的數(shù)，定義這個新數(shù)為原數(shù)的“模二數(shù)”，記為.如.對于“模二數(shù)”的加法規(guī)定如下:將兩數(shù)末位對齊，從右往左依次將相應(yīng)數(shù)位.上的數(shù)分別相加，規(guī)定:與相加得;與相加得與相加得，并向左邊一位進(jìn).如的“模二數(shù)”相加的運(yùn)算過程如下圖所示.

根據(jù)以上材料，解決下列問題:

(1)的值為______ ，的值為_

(2)如果兩個自然數(shù)的和的“模二數(shù)”與它們的“模二數(shù)”的和相等，則稱這兩個數(shù)“模二相加不變”.如，因為，所以，即與滿足“模二相加不變”.

①判斷這三個數(shù)中哪些與“模二相加不變”，并說明理由；

②與“模二相加不變”的兩位數(shù)有______個

Answer 1

【答案】（1）1011，1101；（2）①12，65，97，見解析，②38

【解析】

(1) 根據(jù)“模二數(shù)”的定義計算即可；

(2) ①根據(jù)“模二數(shù)”和模二相加不變”的定義，分別計算和12+23，65+23,97+23的值，即可得出答案

②設(shè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，根據(jù)a、b的奇偶性和“模二數(shù)”和模二相加不變”的定義進(jìn)行討論，從而得出與“模二相加不變”的兩位數(shù)的個數(shù)

解: (1) ，

故答案為：

①，

，

與滿足“模二相加不變”.

，，

，

與不滿足“模二相加不變”.

，

，

，

與滿足“模二相加不變”

②當(dāng)此兩位數(shù)小于77時，設(shè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，；

當(dāng)a為偶數(shù)，b為偶數(shù)時，

∴

∴與滿足“模二相加不變”有12個（28、48、68不符合）

當(dāng)a為偶數(shù)，b為奇數(shù)時，

∴

∴與不滿足“模二相加不變”.但27、47、67、29、49、69符合共6個

當(dāng)a為奇數(shù)，b為奇數(shù)時，

∴

∴與不滿足“模二相加不變”.但17、37、57、19、39、59也不符合

當(dāng)a為奇數(shù)，b為偶數(shù)時，

∴

∴與滿足“模二相加不變”有16個，（18、38、58不符合）

當(dāng)此兩位數(shù)大于等于77時，符合共有4個

綜上所述共有12+6+16+4=38

故答案為：38