Question

85、觀察下圖，請(qǐng)回答下列問題：
（1）圖中的點(diǎn)被折線隔開分成了四層，第一層有一個(gè)點(diǎn)，第二層有3個(gè)點(diǎn)，第三層有

5

個(gè)點(diǎn)，第四層有

7

個(gè)點(diǎn)．
（2）如果要你繼續(xù)畫下去，那么第5層應(yīng)該畫多少點(diǎn)？第n層呢？
（3）某一層上有79個(gè)點(diǎn)，這是第幾層？
（4）第一層與第二層點(diǎn)數(shù)的和是多少？前三層呢？前四層呢？你有沒有發(fā)現(xiàn)規(guī)律根據(jù)你的推測(cè)，前50層的和是多少？

Answer 1

分析：（1）和（2）：結(jié)合圖形，不難發(fā)現(xiàn)：第n層所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)正好是所對(duì)應(yīng)的奇數(shù)，即2n-1．
（3）根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，列方程計(jì)算；
（4）首先正確計(jì)算出前面幾層的和，再根據(jù)得數(shù)和層數(shù)之間的關(guān)系發(fā)現(xiàn)規(guī)律，推而廣之．

解答：解：根據(jù)題意得：
（1）第三層有5個(gè)點(diǎn)，第四層有7個(gè)點(diǎn)；
（2）第5層應(yīng)該9個(gè)點(diǎn)，
∵每一層都比其前一層多2個(gè)點(diǎn)，
∴第n層有（2n-1）個(gè)點(diǎn)；
（3）根據(jù)2n-1=79，得n=40層；
（4）1+3=4=2²；1+3+5=9=3²；1+3+5+7=16=4²；
則n層的點(diǎn)數(shù)和是1+3+5+…+2n-1=n²；
當(dāng)n=50時(shí)，則有50²=2500個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：此題要能夠結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)每層的點(diǎn)數(shù)的規(guī)律：第n層的點(diǎn)數(shù)是對(duì)應(yīng)的奇數(shù)2n-1；前n層的點(diǎn)數(shù)和是1+3+…+2n-1=n²．