Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，動點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)以每秒3個單位的速度運(yùn)動至點(diǎn)B，過點(diǎn)D作DE⊥AB交射線AC于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)D的運(yùn)動時間為t秒（t＞0）．

（1）線段AE的長為 ． （用含t的代數(shù)式表示）
（2）若△ADE與△ACB的面積比為1：4時，求t的值．
（3）設(shè)△ADE與△ACB重疊部分圖形的周長為L，求L與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）當(dāng)直線DE把△ACB分成的兩部分圖形中有一個是軸對稱圖形時，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】
（1）5t
（2）

解：方法一：∵ED⊥AB，

∴∠ADE=90°．∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠ADE．∠A=∠A，

∴△ABC∽△AED，

∴ ．

∵AD=3t，AC=3，BC=4，

∴DE=4t．

∴ ．

∵ ，

∵ ，

∴ ．

∴ （舍）

∴t的值為 ．

方法二：∵ED⊥AB，

∴∠ADE=90°．

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠ADE．

∵∠A=∠A，

∴△ABC∽△AED，

∵ ，

∴ ．

∵AC=3，AD=3t，

∴2×3t=3，t=

（3）

解：由（2）得：△ABC∽△AED，

∴ ．

∵AD=3t，

∴DE=4t，AE=5t．BD=5﹣3t，

∴當(dāng) 時，L=3t+4t+5t=12t．

∴L=12t．

當(dāng) 時，如圖，

∵∠B=∠B，∠BDF=∠BCA，

∴△ABC∽△FBD，

∴ ．

∵BD=5﹣3t，

∴ ．

∵∠BFD=∠EFC，∠BDF=∠ECF，

∴∠B=∠E，

∵∠FCE=∠BCA

∴△BCA∽△ECF，

∴ ．

∵CE=5t﹣3，

∴ ．

．

∴

（4）

解：由（1）知，AE=5t，DE=4t，

∴CE=3﹣5t，

當(dāng)DE=CE時，四邊形BCED是軸對稱圖形，

∴4t=3﹣5t，

∴t= ，

當(dāng)DE和BC相交于F，AD=AC時，四邊形ACFE是軸對稱圖形，

∵AD=3t，AC=3，

∴3t=3，

∴t=1．

即：滿足條件的時間t為 或1

【解析】解：（1）在Rt△ABC中，tanA= =
由題意得，AD=3t，
在Rt△ADE中，tanA= = = ，
根據(jù)勾股定理得，AE=5t．
所以答案是5t；
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用勾股定理的概念和相似三角形的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；相似三角形的判定方法:兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似（SSS）．