Question

【題目】如圖，直線y＝3x+3交x軸于A點(diǎn)，交y軸于B點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)C（3，0）．

（1）求A、B的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的解析式；

（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（0，3）；（2）y＝﹣x2+2x+3；（3）存在，Q（1，1），（1，0），（1，），（1，﹣）．

【解析】

（1）已知一次函數(shù)解析式，分別令即可解決.

（2）設(shè)出拋物線的一般式，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入用待定系數(shù)法即可解決.

（3）拋物線解析式后可得其對(duì)稱軸為，可設(shè)，此時(shí)需要分三種情況討論：，每一種的線段長(zhǎng)度用表示出來(lái)，列方程求解即可.

解：（1）∵y＝3x+3，

∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，

當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣1，

∴A（﹣1，0），B（0，3）．

（2）設(shè)拋物線的解析式為，由題意，得

，

解得

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3.

（3）∵y＝﹣x2+2x+3，

∴y＝﹣（x﹣1）2+4

∴拋物線的對(duì)稱軸為x＝1，設(shè)，

（1）當(dāng)AQ＝BQ時(shí)，如圖，

由勾股定理可得

BQ＝，

AQ＝

AQ＝BQ

即，

解得，

∴Q（1，1）；

（2）如圖：

當(dāng)AB是腰時(shí)，Q是對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)時(shí)，AB＝BQ，

∴

解得：或6，

當(dāng)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，6）時(shí)，其在直線AB上，A、B和Q三點(diǎn)共線，舍去，

則此時(shí)Q的坐標(biāo)是（1，0）；

（3）當(dāng)AQ＝AB時(shí)，如圖：

，

解得，

則Q的坐標(biāo)是（1，）和（1，﹣）．

綜上所述：Q（1，1），（1，0），（1，），（1，﹣）．