Question

如圖，已知二次函數(shù)y=﹣x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A（﹣2，﹣1），B（0，7）兩點(diǎn)．

（1）求該拋物線的解析式及對(duì)稱(chēng)軸；

（2）當(dāng)x為何值時(shí)，y＞0？

（3）在x軸上方作平行于x軸的直線l，與拋物線交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)），過(guò)點(diǎn)C，D作x軸的垂線，垂足分別為F，E．當(dāng)矩形CDEF為正方形時(shí)，求C點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【專(zhuān)題】壓軸題．

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，再用配方法或公式法求出對(duì)稱(chēng)軸即可；

（2）求出二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)即可，再利用函數(shù)圖象得出x取值范圍；

（3）利用正方形的性質(zhì)得出橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系即可得出答案．

【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y=﹣x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A（﹣2，﹣1），B（0，7）兩點(diǎn)．

∴，

解得：，

∴y=﹣x²+2x+7，

=﹣（x²﹣2x）+7，

=﹣[（x²﹣2x+1）﹣1]+7，

=﹣（x﹣1）²+8，

∴對(duì)稱(chēng)軸為：直線x=1．

 

（2）當(dāng)y=0，

0=﹣（x﹣1）²+8，

∴x﹣1=±2，

x₁=1+2，x₂=1﹣2，

∴拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為：（1﹣2，0），（1+2，0），

∴當(dāng)1﹣2＜x＜1+2時(shí)，y＞0；

 

（3）當(dāng)矩形CDEF為正方形時(shí)，

假設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x，﹣x²+2x+7），

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣x²+2x+7+x，﹣x²+2x+7），

即：（﹣x²+3x+7，﹣x²+2x+7），

∵對(duì)稱(chēng)軸為：直線x=1，D到對(duì)稱(chēng)軸距離等于C到對(duì)稱(chēng)軸距離相等，

∴﹣x²+3x+7﹣1=﹣x+1，

解得：x₁=﹣1，x₂=5（不合題意舍去），

x=﹣1時(shí)，﹣x²+2x+7=4，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣1，4）．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及利用圖象觀察函數(shù)值和正方形性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意得出C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．