Question

如圖，正方形ＡＢＣＤ的邊長(zhǎng)是４，∠ＤＡＣ的平分線交ＤＣ于點(diǎn)Ｅ，點(diǎn)Ｐ、Ｑ分別是邊ＡＤ和ＡＥ上的動(dòng)點(diǎn)（兩動(dòng)點(diǎn)都不與端點(diǎn)重合）．
（１）ＰＱ＋ＤＱ的最小值是　　　　　　　；
（２）說出ＰＱ＋ＤＱ取得最小值時(shí)，點(diǎn)Ｐ、點(diǎn)Ｑ的位置，并在圖８中畫出；
（３）請(qǐng)對(duì)（２）中你所給的結(jié)論進(jìn)行證明．

Answer 1

（１）　（２）過點(diǎn)Ｑ作ＱＰ⊥ＡＤ，垂足即為點(diǎn)Ｐ（３）證明見解析

解：（１）　；…………………………………………………………２分
（２）如圖４，過點(diǎn)Ｄ作ＤＦ⊥ＡＣ，垂足為Ｆ，………………………３分
ＤＦ與ＡＥ的交點(diǎn)即為點(diǎn)Ｑ；………………………………………………４分
過點(diǎn)Ｑ作ＱＰ⊥ＡＤ，垂足即為點(diǎn)Ｐ；……………………………………５分
（３）由（２）知，ＤＦ為等腰Ｒt△ＡＤＣ底邊上的高，
∴ＤＦ＝ＡＤ·sin４５°＝４×＝．…………………………６分
∵ＡＥ平分∠ＤＡＣ，Ｑ為ＡＥ上的點(diǎn)，
且ＱＦ⊥ＡＣ于點(diǎn)Ｆ，ＱＰ⊥ＡＤ于點(diǎn)Ｐ，
∴ＱＰ＝ＱＦ（角平分線性質(zhì)定理），……………………………………７分
∴ＰＱ＋ＤＱ＝ＦＱ＋ＤＱ＝ＤＦ＝．
下面證明此時(shí)的ＰＱ＋ＤＱ為最小值：
在ＡＥ上取異于Ｑ的另一點(diǎn)Ｑ_１（圖5）．…………………………………９分
①過Ｑ_１點(diǎn)作Ｑ_１Ｆ_１⊥ＡＣ于點(diǎn)Ｆ_１，………………………………………１０分
過Ｑ_１點(diǎn)作Ｑ_１Ｐ_１⊥ＡＤ于點(diǎn)Ｐ_１，…………………………………………１１分
則Ｐ_１Ｑ_１＋ＤＱ_１＝Ｆ_１Ｑ_１＋ＤＱ_１，
由“一點(diǎn)到一條直線的距離”，可知，垂線段最短，
∴得Ｆ_１Ｑ_１＋ＤＱ_１＞ＦＱ＋ＤＱ，
即Ｐ_１Ｑ_１＋ＤＱ_１＞ＰＱ＋ＤＱ．…………………………………………１２分
②若Ｐ_２是ＡＤ上異于Ｐ_１的任一點(diǎn)，………………………………………１３分
可知斜線段Ｐ_２Ｑ_１＞垂線段Ｐ_１Ｑ_１，………………………………………１４分
∴Ｐ_２Ｑ_１＋ＤＱ_１＞Ｐ_１Ｑ_１＋ＤＱ_１＞ＰＱ＋ＤＱ．
從而可得此處ＰＱ＋ＤＱ的值最小．
此題考核正方形的性質(zhì)，利用垂線段最短求證最小值