【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D為AB的中點,連接CD,點O是CD的中點,到點O的距離等于OC的所有點組成圖形M,圖形M分別交AC,BC于點E,F兩點,過點F作FG⊥AB于點G.
(1)試判斷FG與圖形M的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若AC=3,∠B=30°,求FG的長.
【答案】(1)FG與⊙O相切,理由詳見解析;(2)FG=.
【解析】
(1)如圖,連接OF,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CD=BD,得到∠DBC=∠DCB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OFC=∠OCF,得到∠OFC=∠DBC,推出∠OFG=90°,于是得到結(jié)論;
(2)連接DF,解直角三角形即可得到結(jié)論.
(1)FG與⊙O相切,
理由:根據(jù)圓的定義知:到點O的距離等于OC的所有點組成圖形M,圖形M就是⊙O,
如圖,連接OF,
∵∠ACB=90°,D為AB的中點,
∴CD=BD,
∴∠DBC=∠DCB,
∵OF=OC,
∴∠OFC=∠OCF,
∴∠OFC=∠DBC,
∴OF∥DB,
∴∠OFG+∠DGF=180°,
∵FG⊥AB,
∴∠DGF=90°,
∴∠OFG=90°,
∴FG與⊙O相切;
(2)連接DF,
∵∠ACB=90°,AC=3,∠B=30°,
∴AB=2AC=6,
∴BC=AB=3
,
∵CD為⊙O的直徑,
∴∠DFC=90°,
∴FD⊥BC,
∵DB=DC,
∴BF=BC=
,
∵sin∠ABC,
即,
∴FG=.
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【題目】小明利用課余時間回收廢品,將賣得的錢去購買5本大小不同的兩種筆記本,要求共花錢不超過28元,且購買的筆記本的總頁數(shù)不低于340頁,兩種筆記本的價格和頁數(shù)如下表.為了節(jié)約資金,小明應(yīng)選擇哪一種購買方案?請說明理由.
大筆記本 | 小筆記本 | |
價格(元/本) | 6 | 5 |
頁數(shù)(頁/本) | 100 | 60 |
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【題目】威麗商場銷售A、B兩種商品,售出1件A種商品和4件B種商品所得利潤為600元;售出3件A種商品和5件B種商品所得利潤為1100元.
(1)求每件A種商品和每件B種商品售出后所得利潤分別為多少元?
(2)由于需求量大,A、B兩種商品很快售完,威麗商場決定再一次購進(jìn)A、B兩種商品共34件,如果將這34件商品全部售完后所得利潤不低于4000元,那么威麗商場至少需購進(jìn)多少件A種商品?
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【題目】如圖,已知矩形的邊
,
,點
、
分別是
、
邊上的動點.
(1)連接、
,以
為直徑的
交
于點
.
①若點恰好是
的中點,則
與
的數(shù)量關(guān)系是______;
②若,求
的長;
(2)已知,
,
是以
為弦的圓.
①若圓心恰好在
邊的延長線上,求
的半徑:
②若與矩形
的一邊相切,求
的半徑.
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【題目】如圖1所示,E為矩形ABCD的邊AD上一點,動點P、Q同時從點B出發(fā),點P沿折線BE﹣ED﹣DC運動到點C時停止,點Q沿BC運動到點C時停止,它們運動的速度都是1cm/秒,設(shè)P、Q同時出發(fā)t秒時,△BPQ的面積為ycm2,已知y與t的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2所示,請回答:
(1)線段BC的長為 cm.
(2)當(dāng)運動時間t=2.5秒時,P、Q之間的距離是 cm.
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【題目】一次函數(shù)y1=kx+1﹣2k(k≠0)的圖象記作G1,一次函數(shù)y2=2x+3(﹣1<x<2)的圖象記作G2,對于這兩個圖象,有以下幾種說法:
①當(dāng)G1與G2有公共點時,y1隨x增大而減。
②當(dāng)G1與G2沒有公共點時,y1隨x增大而增大;
③當(dāng)k=2時,G1與G2平行,且平行線之間的距離為.
下列選項中,描述準(zhǔn)確的是( )
A.①②正確,③錯誤B.①③正確,②錯誤
C.②③正確,①錯誤D.①②③都正確
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【題目】如圖,已知點、
在直線
上,且
,
于
點,且
,以
為直徑在
的左側(cè)作半圓
,
于
,且
.
(1)若半圓上有一點
,則
的最大值為________;
(2)向右沿直線平移
得到
;
①如圖,若截半圓
的
的長為
,求
的度數(shù);
②當(dāng)半圓與
的邊相切時,求平移距離.
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【題目】如圖1,AB、CD是圓O的兩條弦,交點為P.連接AD、BC. OM⊥ AD,ON⊥BC,垂足分別為M、N.連接PM、PN.
圖1 圖2
(1)求證:△ADP ∽△CBP;
(2)當(dāng)AB⊥CD時,探究PMO與
PNO的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)當(dāng)AB⊥CD時,如圖2,AD=8,BC=6, ∠MON=120°,求四邊形PMON的面積.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點A(1,0),已知拋物線y=﹣x2+mx﹣2m(m是常數(shù)),頂點為P.
(1)當(dāng)拋物線經(jīng)過點A時,求頂點P坐標(biāo);
(2)等腰Rt△AOB,點B在第四象限,且OA=OB.當(dāng)拋物線與線段OB有且僅有兩個公共點時,求m滿足的條件;
(3)無論m取何值,該拋物線都經(jīng)過定點H.當(dāng)∠AHP=45°,求此拋物線解析式.
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