【題目】如圖①,△ABC是正三角形,△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形,以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角,角兩邊分別交AB,AC邊于M,N兩點(diǎn),連接MN.
(1)探究:線段BM,MN,NC之間的關(guān)系,并加以證明。
(2)若點(diǎn)M是AB的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),N是CA的延長(zhǎng)線上的點(diǎn),其它條件不變,請(qǐng)你再探線段BM,MN,NC之間的關(guān)系,在圖②中畫出圖形,并說明理由。
【答案】(1)MN=BM+NC.理由見解析;(2)MN=NCBM,圖見解析,理由見解析;
【解析】
(1)延長(zhǎng)AC至E,使得CE=BM并連接DE,構(gòu)造全等三角形,找到相等的線段,MD=DE,再進(jìn)一步證明△DMN≌△DEN,進(jìn)而得到MN=BM+NC.
(2)按要求作出圖形,先證△BMD≌△CED,再證△MDN≌△EDN(SAS),即可得出結(jié)論.
(1)MN=BM+NC.理由如下:
延長(zhǎng)AC至E,使得CE=BM(或延長(zhǎng)AB至E,使得BE=CN),并連接DE.
∵△BDC為等腰三角形,△ABC為等邊三角形,
∴BD=CD,∠DBC=∠DCB,∠MBC=∠ACB=60°,
又BD=DC,且∠BDC=120°,
∴∠DBC=∠DCB=30°,
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°,
∴∠MBD=∠ECD=90°,
在△MBD與△ECD中,
∵ ,
∴△MBD≌△ECD(SAS),
∴MD=DE,
∴△DMN≌△DEN,
∴MN=BM+NC.
(2)按要求作出圖形,(1)中結(jié)論不成立,應(yīng)為MN=NCBM.
在CA上截取CE=BM.
∵△ABC是正三角形,
∴∠ACB=∠ABC=60°,
又∵BD=CD,∠BDC=120°,
∴∠BCD=∠CBD=30°,
∴∠MBD=∠DCE=90°,
在△BMD和△CED中
∵ ,
∴△BMD≌△CED(SAS),
∴DE=DM,
在△MDN和△EDN中
∵,
∴△MDN≌△EDN(SAS),
∴MN=NE=NCCE=NCBM.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知CD是△ABC中∠ACB的角平分線,E是AC上的一點(diǎn),且CD2=BC·CE,AD=6,AE=4.
(1)求證:△BCD∽△DCE;
(2)求證:△ADE∽△ACD;
(3)求CE的長(zhǎng).
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【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系內(nèi),O為原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,0),點(diǎn)B在第一象限內(nèi),BO=5,sin∠BOA=. 求:(1)點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)cos∠BAO的值.
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【題目】已知:△ABC在坐標(biāo)平面內(nèi),三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,3)、B(3,4)、C(2,2),(正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度)
(1)畫出△ABC向下平移4個(gè)單位得到的△A1B1C1;
(2)以B為位似中心,在網(wǎng)格中畫出△A2BC2,使△A2BC2與△ABC位似,且位似比2∶1,直接寫出C2點(diǎn)坐標(biāo)是 ;
(3)△A2BC2的面積是 平方單位.
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【題目】如圖,將矩形ABCO放在直角坐標(biāo)系中,其中頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(10, 8),E是BC邊上一點(diǎn)將△ABE沿AE折疊,點(diǎn)B剛好與OC邊上點(diǎn)D重合,過點(diǎn)E的反比例函數(shù)y=的圖象與邊AB交于點(diǎn)F, 則線段AF的長(zhǎng)為( )
A. B. 2 C. D.
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【題目】為了了解2018年全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽情況,隨機(jī)抽查了部分參賽同學(xué)的成績(jī),整理并制作圖表如下(部分未完成).請(qǐng)根據(jù)以上圖表中提供的信息,解答下列問題:
(1)本次調(diào)查的樣本容量為______________.
(2)在表中:m=_____________,n=____________.
(3)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(4)如果比賽成績(jī)80分以上(含80分)為優(yōu)秀,某中學(xué)有200人參加比賽,那么你估計(jì)該校約有多少人取得優(yōu)秀成績(jī)?
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【題目】()如圖, 是形內(nèi)的高, 是的外接圓⊙的直徑.
①求證: .
②若, , ,⊙ 的直徑長(zhǎng).
③如圖,在邊長(zhǎng)為的小正方形組成的網(wǎng)格之中有一個(gè)格點(diǎn)三角形,請(qǐng)你從上面兩小題中獲得經(jīng)驗(yàn),直接寫出此格點(diǎn)三角形的外接圓面積.
()如圖, 是形外的高,若, , ,( )題中②的結(jié)論是否還成立?成立與否都要說明理由.
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【題目】一塊直角三角形綠地,兩直角邊長(zhǎng)分別為3m,4m,現(xiàn)在要將綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形,且擴(kuò)充時(shí)只能延長(zhǎng)長(zhǎng)為3m的直角邊,則擴(kuò)充后等腰三角形綠地的面積為____m2.
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【題目】如圖,邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)P,BP=4,∠PBC=60°,點(diǎn)Q為正方形邊上一動(dòng)點(diǎn),且△PBQ是等腰三角形,則符合條件的Q點(diǎn)有__________個(gè).
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