【題目】如圖1,在直角坐標系中,已知點A0,2)、點B-2,0),過點B和線段OA的中點C作直線BC,以線段BC為邊向上作正方形BCDE.

1)填空:點D的坐標為_________,點E的坐標為_______________.

2)若拋物線經(jīng)過AD、E三點,求該拋物線的解析式.

3)若正方形和拋物線均以每秒個單位長度的速度沿射線BC同時向上平移,直至正方形的頂點E落在軸上時,正方形和拋物線均停止運動.

①在運動過程中,設正方形落在y軸右側部分的面積為,求關于平移時間(秒)的函數(shù)關系式,并寫出相應自變量的取值范圍.

②運動停止時,求拋物線的頂點坐標.

【答案】(1)D的坐標為(-1,3),E的坐標為(-3,2);

(2)拋物線的解析式為;

3Sx的函數(shù)關系式為:

0t≤, S=5

t≤1時,S=5t

1t≤時,S=-5t2+15t

②拋物線的頂點坐標是(, ).

【解析】1D-1,3)、E-32)(2分)

2)拋物線經(jīng)過(0,2)、(-1,3)、(-3,2),則

解得

3①當點D運動到y軸上時,t=.

0t≤時,如右圖

D′C′y軸于點F

tanBCO= =2,又∵∠BCO=FCC′

tanFCC′=2, =2

CC′= t,FC′=2t.

SCC′F =CC′·FC′= t=5 t2

當點B運動到點C時,t=1.t≤1時,如右圖

D′E′y軸于點G,過GGHB′C′H.

RtBOC中,BC=

GH= ,CH=GH=

CC′=t,HC′=t-,GD′=t-

S梯形CC′D′G =(t-+ t) =5t-

當點E運動到y軸上時,t=.

1t≤時,如右圖所示

D′E′、E′B′分別交y軸于點M、N

CC′=t,B′C′=,

CB′=t-,B′N=2CB′=t-

B′E′=,E′N=B′E′-B′N=-t

E′M=E′N=(-t)

SMNE′ =(-t)· (-t)=5t2-15t+

S五邊形B′C′D′MN =S正方形B′C′D′E′ -SMNE′ = (5t2-15t+)=-5t2+15t-

綜上所述,Sx的函數(shù)關系式為:

0t≤, S=5

t≤1時,S=5t

1t≤時,S=-5t2+15t

②當點E運動到點E′時,運動停止.如下圖所示

∵∠CB′E′=BOC=90°BCO=B′CE′

∴△BOC∽△E′B′C

OB=2,B′E′=BC=

CE′=

OE′=OC+CE′=1+=

E′0,

由點E-3,2)運動到點E′0, ,可知整條拋物線向右平移了3個單位,向上平移了個單位.

=

∴原拋物線頂點坐標為(,

∴運動停止時,拋物線的頂點坐標為(,

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