【題目】如圖1,在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(0,2)、點(diǎn)B(-2,0),過點(diǎn)B和線段OA的中點(diǎn)C作直線BC,以線段BC為邊向上作正方形BCDE.
(1)填空:點(diǎn)D的坐標(biāo)為_________,點(diǎn)E的坐標(biāo)為_______________.
(2)若拋物線經(jīng)過A、D、E三點(diǎn),求該拋物線的解析式.
(3)若正方形和拋物線均以每秒個(gè)單位長度的速度沿射線BC同時(shí)向上平移,直至正方形的頂點(diǎn)E落在軸上時(shí),正方形和拋物線均停止運(yùn)動(dòng).
①在運(yùn)動(dòng)過程中,設(shè)正方形落在y軸右側(cè)部分的面積為,求關(guān)于平移時(shí)間(秒)的函數(shù)關(guān)系式,并寫出相應(yīng)自變量的取值范圍.
②運(yùn)動(dòng)停止時(shí),求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】(1)D的坐標(biāo)為(-1,3),E的坐標(biāo)為(-3,2);
(2)拋物線的解析式為;
(3)①S與x的函數(shù)關(guān)系式為:
當(dāng)0<t≤時(shí), S=5
當(dāng)<t≤1時(shí),S=5t
當(dāng)1<t≤時(shí),S=-5t2+15t
②拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(, ).
【解析】(1)D(-1,3)、E(-3,2)(2分)
(2)拋物線經(jīng)過(0,2)、(-1,3)、(-3,2),則
解得
∴
(3)①當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到y軸上時(shí),t=.
當(dāng)0<t≤時(shí),如右圖
設(shè)D′C′交y軸于點(diǎn)F
∵tan∠BCO= =2,又∵∠BCO=∠FCC′
∴tan∠FCC′=2, 即=2
∵CC′= t,∴FC′=2t.
∴S△CC′F =CC′·FC′= t×t=5 t2
當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),t=1.當(dāng)<t≤1時(shí),如右圖
設(shè)D′E′交y軸于點(diǎn)G,過G作GH⊥B′C′于H.
在Rt△BOC中,BC=
∴GH= ,∴CH=GH=
∵CC′=t,∴HC′=t-,∴GD′=t-
∴S梯形CC′D′G =(t-+ t) =5t-
當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到y軸上時(shí),t=.
當(dāng)1<t≤時(shí),如右圖所示
設(shè)D′E′、E′B′分別交y軸于點(diǎn)M、N
∵CC′=t,B′C′=,
∴CB′=t-,∴B′N=2CB′=t-
∵B′E′=,∴E′N=B′E′-B′N=-t
∴E′M=E′N=(-t)
∴S△MNE′ =(-t)· (-t)=5t2-15t+
∴S五邊形B′C′D′MN =S正方形B′C′D′E′ -S△MNE′ = (5t2-15t+)=-5t2+15t-
綜上所述,S與x的函數(shù)關(guān)系式為:
當(dāng)0<t≤時(shí), S=5
當(dāng)<t≤1時(shí),S=5t
當(dāng)1<t≤時(shí),S=-5t2+15t
②當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E′時(shí),運(yùn)動(dòng)停止.如下圖所示
∵∠CB′E′=∠BOC=90°,∠BCO=∠B′CE′
∴△BOC∽△E′B′C
∴
∵OB=2,B′E′=BC=
∴
∴CE′=
∴OE′=OC+CE′=1+=
∴E′(0,)
由點(diǎn)E(-3,2)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E′(0, ),可知整條拋物線向右平移了3個(gè)單位,向上平移了個(gè)單位.
∵=
∴原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(, )
∴運(yùn)動(dòng)停止時(shí),拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(, )
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“陽光體育”運(yùn)動(dòng)關(guān)乎每個(gè)學(xué)生未來的幸福生活,今年五月,我市某校開展了以“陽光體育我是冠軍”為主題的一分鐘限時(shí)跳繩比賽,要求每個(gè)班選2﹣3名選手參賽,現(xiàn)將80名選手比賽成績(單位:次/分鐘)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).繪制成頻數(shù)分布直方圖,如圖所示.
(1)圖中a值為 .
(2)將跳繩次數(shù)在160~190的選手依次記為A1、A2、…An,從中隨機(jī)抽取兩名選手作經(jīng)驗(yàn)交流,請用樹狀或列表法求恰好抽取到的選手A1和A2的概率.
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【題目】如圖,長方形AOBC在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A在y軸上,點(diǎn)B在x軸上,已知點(diǎn)C的坐標(biāo)是(8,4).
(1)求對角線AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)對角線AB的垂直平分線MN交x軸于點(diǎn)M,連接AM,求線段AM的長;
(3)若點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△PAM的面積與長方形OABC的面積相等時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(0,6),B(8,0),點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn),CD⊥OB交OB于D,Rt△EFH的斜邊EH在射線AB上,頂點(diǎn)F在射線AB的左側(cè),EF∥OA,點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度向B運(yùn)動(dòng),到點(diǎn)B停止,AE=EF,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).
(1)在Rt△EFH中,EF= ,EH= ,點(diǎn)F坐標(biāo)為( , )(用含t的代數(shù)式表示)
(2)t為何值時(shí),H與C重合?
(3)設(shè)△EFH與△CDB重疊部分圖形的面積為S(S>0),求S與t的函數(shù)關(guān)系式。
(4)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,Rt△EFH掃過的面積是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列二次函數(shù)中,圖象以直線x=2為對稱軸、且經(jīng)過點(diǎn)(0,1)的是 ( )
A.y=(x-2)2+1B.y=(x+2)2+1
C.y=(x-2)2-3D.y=(x+2)2-3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知多項(xiàng)式ax5+bx3+3x+c,當(dāng)x=0時(shí),該代數(shù)式的值為﹣1.
(1)求c的值;
(2)已知當(dāng)x=3時(shí),該式子的值為9,試求當(dāng)x=﹣3時(shí)該式子的值;
(3)在第(2)小題的已知條件下,若有3a=5b成立,試比較a+b與c的大?
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