【題目】已知二次函數(shù)y=x2﹣(2k+1)x+k2+k(k>0)
(1)當(dāng)k= 時(shí),求這個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求證:關(guān)于x的一元次方程x2﹣(2k+1)x+k2+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(3)如圖,該二次函數(shù)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)),與y軸交于C點(diǎn),P是y軸負(fù)半軸上一點(diǎn),且OP=1,直線AP交BC于點(diǎn)Q,求證: .
【答案】
(1)
解:將k= 代入二次函數(shù)可求得,
y=x2﹣2x+
=(x﹣1)2﹣ ,
故拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為:(1,﹣ )
(2)
解:∵一元次方程x2﹣(2k+1)x+k2+k=0,
∴△=b2﹣4ac=[﹣(2k+1)]2﹣4(k2+k)=1>0,
∴關(guān)于x的一元次方程x2﹣(2k+1)x+k2+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
(3)
解:由題意可得:點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,﹣1),
則0=x2﹣(2k+1)x+k2+k
0=(x﹣k﹣1)(x﹣k),
故A(k,0),B(k+1,0),
當(dāng)x=0,則y=k2+k,
故C(0,k2+k)
則AB=k+1﹣k=1,OA=k,
可得
,
yBC=﹣kx+k2+k,
當(dāng) x﹣1=﹣kx+k2+k,
解得:x=k+ ,
則代入原式可得:y= ,
則點(diǎn)Q坐標(biāo)為
運(yùn)用距離公式得:AQ2=( )2+( )2= ,
則OA2=k2,AB2=1,
故 +1= = ,
則 .
【解析】(1)直接將k的值代入函數(shù)解析式,進(jìn)而利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo);(2)利用根的判別式得出△=1,進(jìn)而得出答案;(3)根據(jù)題意首先表示出Q點(diǎn)坐標(biāo),以及表示出OA,AB的長(zhǎng),再利用兩點(diǎn)之間距離求出AQ的長(zhǎng),進(jìn)而求出答案.此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及根的判別式和配方法求二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)和兩點(diǎn)之間距離求法等知識(shí),正確表示出Q點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用求根公式和兩點(diǎn)間的距離的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握根的判別式△=b2-4ac,這里可以分為3種情況:1、當(dāng)△>0時(shí),一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根2、當(dāng)△=0時(shí),一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根3、當(dāng)△<0時(shí),一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根;同軸兩點(diǎn)求距離,大減小數(shù)就為之.與軸等距兩個(gè)點(diǎn),間距求法亦如此.平面任意兩個(gè)點(diǎn),橫縱標(biāo)差先求值.差方相加開(kāi)平方,距離公式要牢記.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖:已知在△ABC中,AB=AC,D為BC邊的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB,DF⊥AC,,垂足分別為E,F.
(1)求證:△BED≌△CFD;
(2)若∠A=90°,求證:四邊形DFAE是正方形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,在△ABC中,∠ABC=90,點(diǎn)O為△ABC的三條角平分線的交點(diǎn),OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,點(diǎn)D.E.F是垂足,且AB=17,BC=15,則OF、OE、OD的長(zhǎng)度分別是( )
A. 2,2,2 B. 3,3,3 C. 4,4,4 D. 5,5,5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】△ABC的內(nèi)切圓的三個(gè)切點(diǎn)分別為D、E、F,∠A=75°,∠B=45°,則圓心角∠EOF=度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某社區(qū)從2011年開(kāi)始,組織全民健身活動(dòng),結(jié)合社區(qū)條件,開(kāi)展了廣場(chǎng)舞、太極拳、羽毛球和跑步四個(gè)活動(dòng)項(xiàng)目,現(xiàn)將參加項(xiàng)目活動(dòng)總?cè)藬?shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并繪制成每年參加總?cè)藬?shù)折線統(tǒng)計(jì)圖和2015年各活動(dòng)項(xiàng)目參與人數(shù)的扇形統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列題
(1)2015年比2011年增加人;
(2)請(qǐng)根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖求出2015年參與跑步項(xiàng)目的人數(shù);
(3)組織者預(yù)計(jì)2016年參與人員人數(shù)將比2015年的人數(shù)增加15%,名各活動(dòng)項(xiàng)目參與人數(shù)的百分比與2016年相同,請(qǐng)根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)結(jié)果,估計(jì)2016年參加太極拳的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).網(wǎng)格中有一個(gè)格點(diǎn)△ABC(即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上).
(1)在圖中作出△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的△A1B1C1 (要求A與A1,B與B1,C與C1相對(duì)應(yīng));
(2)求△ABC的面積;
(3)在直線l上找一點(diǎn)P,使得△PAC的周長(zhǎng)最小.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【問(wèn)題情境】
課外興趣小組活動(dòng)時(shí),老師提出了如下問(wèn)題:
如圖①,△ABC中,若AB=12,AC=8,求BC邊上的中線AD的取值范圍.
小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流,得到了如下的解決方法:延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E,使DE=AD,連接BE.請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考:
(1)由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB,依據(jù)是 .
A.SSS B.SAS C.AAS D.HL
(2)由“三角形的三邊關(guān)系”可求得AD的取值范圍是 .
解后反思:題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”等條件,可考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形,把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形之中.
【初步運(yùn)用】
如圖②,AD是△ABC的中線,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.若EF=3,EC=2,求線段BF的長(zhǎng).
【靈活運(yùn)用】
如圖③,在△ABC中, ∠A=90°,D為BC中點(diǎn), DE⊥DF,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于點(diǎn)F,連接EF.試猜想線段BE、CF、EF三者之間的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC為等腰三角形,AB=AC,∠D=∠E,∠BAD=∠CAE.
(1)寫出一對(duì)全等的三角形:△ ≌△ ;
(2)證明(1)中的結(jié)論;
(3)求證:點(diǎn)G為BC的中點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖四邊形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,∠BAD的平分線AG交BC于點(diǎn)G.
(1)求證:∠BAG=∠BGA;
(2)如圖2,∠BCD的平分線CE交AD于點(diǎn)E,與射線GA相交于點(diǎn)F,∠B=50°.
①若點(diǎn)E在線段AD上,求∠AFC的度數(shù);
②若點(diǎn)E在DA的延長(zhǎng)線上,直接寫出∠AFC的度數(shù);
(3)如圖3,點(diǎn)P在線段AG上,∠ABP=2∠PBG,CH∥AG,在直線AG上取一點(diǎn)M,使∠PBM=∠DCH,請(qǐng)直接寫出∠ABM:∠PBM的值.
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