Question

如圖在△ABC中，AB=4，BC=，∠ABC=30°，以AB為直徑作⊙O交BC于點D，
（1）試判斷CD與BD的大小關(guān)系，說明理由；
（2）過點D作DE⊥AC垂直為點E，試判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，說明理由．

Answer 1

解：①CD=BD，理由如下：
連接AD，∵AB為⊙O的直，
∴∠ADB=90°，
∵∠B=30°，AB=4，
∴AD=2，
∴BD=，
∴CD=BC-BD=，
∴BD=CD；

（2）DE與⊙O相切，
證明：連接OD
∵O，D分別為AB，BC的中點，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥AC
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
∴∠EDO=90°，
∴DE為⊙O的切線．
分析：（1）連接AD，因為AB為直徑，所以∠ADB=90，再由已知條件和勾股定理求出BD的長，進而求出CD的長，再比較它們的大小即可；
（2）連接OD，證明∠EDO=90°即可．
點評：本題考查了切線的判定以及勾股定理的有關(guān)知識．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．