Question

【題目】已知⊙O半徑為1，若點(diǎn)P在⊙O外且⊙O上存在點(diǎn)A、B使得∠APB＝60°，則稱點(diǎn)P是⊙O的領(lǐng)域點(diǎn)．

（1）對以下情況，用三角板或量角器嘗試畫圖，并判斷點(diǎn)P是否是⊙O的領(lǐng)域點(diǎn)（在橫線上填“是”或“不是”）．

①當(dāng)OP＝1.2時(shí)， 點(diǎn)P　 　⊙O的領(lǐng)域點(diǎn)

②當(dāng)OP＝2時(shí)， 點(diǎn)P　 　⊙O的領(lǐng)域點(diǎn)

③當(dāng)OP＝3時(shí)， 點(diǎn)P　 　⊙O的領(lǐng)域點(diǎn)

（2）若點(diǎn)P是⊙O的領(lǐng)域點(diǎn)，則OP的取值范圍是　 　；

（3）如圖，以圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)直線y＝﹣x+b（b＞0）與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)M、N．

①若線段MN上有且只有一個(gè)點(diǎn)是⊙O的領(lǐng)域點(diǎn)，求b的值；

②若線段MN上存在⊙O的領(lǐng)域點(diǎn)，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①是；②是；③不是；（2）1＜OP≤2；（3）①b＝2；②＜b

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)P是⊙O的領(lǐng)域點(diǎn)的定義即可判斷．

（2）如圖1中，由題可知：若點(diǎn)P剛好是⊙O的領(lǐng)域點(diǎn)，則點(diǎn)P到⊙O的兩條切線PA與PB之間的夾角為60°，求出OP的長即可．

（3）①如圖2中，當(dāng)點(diǎn)O到直線y＝﹣x+b的距離OP＝2時(shí)，線段MN上有且只有一個(gè)點(diǎn)是⊙O的領(lǐng)域點(diǎn)，求出b的值即可．

②當(dāng)直線與⊙O相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為E，求出b的值即可判斷．

解：（1）觀察圖形可知圖①②中，點(diǎn)P是⊙O的領(lǐng)域點(diǎn)，圖③中點(diǎn)P不是⊙O的領(lǐng)域點(diǎn)．

故答案為是，是，不是；

（2）由題可知：若點(diǎn)P剛好是⊙O的領(lǐng)域點(diǎn)，則點(diǎn)P到⊙O的兩條切線PA與PB之間的夾角為60°，如圖1，

∵PA、PB與⊙O分別相切于點(diǎn)A、B，

∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠APO＝∠BPO＝∠APB＝30°．

∴OP＝2OA．

設(shè)⊙O的半徑為r，則點(diǎn)P剛好是⊙O的領(lǐng)域點(diǎn)時(shí)OP＝2r．

所以若點(diǎn)P是⊙O的領(lǐng)域點(diǎn)，則需點(diǎn)滿足1＜OP≤2；

（3）①如圖2中，當(dāng)點(diǎn)O到直線y＝﹣x+b的距離OP＝2時(shí)，線段MN上有且只有一個(gè)點(diǎn)是⊙O的領(lǐng)域點(diǎn)，

∵M（b，0），N（0，b），

∴OM＝ON，

∵OP⊥MN，

∴PM＝PN，

∴OP＝PM＝PN＝2，

∴OM＝ON＝2，

∴b＝2，

∴當(dāng)線段MN上有且只有一個(gè)點(diǎn)是⊙O的領(lǐng)域點(diǎn)時(shí) b＝2．

②當(dāng)直線與⊙O相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為E，

∵OE＝EN′＝EM′＝1，

∴ON′＝OM′＝，

觀察圖象可知，當(dāng)線段MN上存在⊙O的領(lǐng)域點(diǎn)，b的取值范圍為＜b．